Séance 5-2-1 : Fonctions exponentielles - Partie 2 (Cours)

Sommaire

III- Fonction exponentielle de base a

3-1/ Définition de la fonction exponentielle de base a

3-2/ Propriétés algébriques

3-3/ Une autre écriture de la fonction $ex{p}_a$

3-4/ Étude de la fonction $ex{p}_a$

III- Fonction exponentielle de base a

3-1/ Définition de la fonction exponentielle de base a

Définition 2

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$.

La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction réciproque de la fonction ${\log }_a$.

On la note $ex{p}_a$.

III- Fonction exponentielle de base a

3-1/ Définition de la fonction exponentielle de base a

Remarques

D'après la définition 2, on a :

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) \left(y=ex{p}_a\left(x\right)\iff x={\log }_a\left(y\right)\right)$

Soit $x$ un réel positif et $y$ un réel strictement positif. On a alors :

$y=ex{p}_a\left(x\right)\iff x={\log }_a\left(y\right)=\frac{\ln y}{\ln a}\iff \ln y=x\ln a\iff y=e^{x\ln a}$

Ainsi, pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ :

$ex{p}_a\left(x\right)=e^{x\ln a}$

III- Fonction exponentielle de base a

3-2/ Propriétés algébriques

Proposition 9

Soient $x$ et $y$ deux réels et $r$ un nombre rationnel . Alors :

$$\begin{gathered} ex{p}_a\left(x+y\right)=ex{p}_a\left(x\right).ex{p}_a\left(y\right) \\ ex{p}_a\left(x-y\right)=\frac{ex{p}_a\left(x\right)}{ex{p}_a\left(y\right)} \\ ex{p}_a\left(rx\right)={\left(ex{p}_a\left(x\right)\right)}^r \end{gathered}$$

III- Fonction exponentielle de base a

3-3/ Une autre écriture de la fonction $ex{p}_a$

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$.

On a : $ex{p}_a\left(1\right)=e^{\ln a}=a$

Et puisque pour tout $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ : $ex{p}_a\left(r\right)={\left(ex{p}_a\left(1\right)\right)}^r=a^r$

On prolonge cette écriture sur l’ensemble des nombres réels en écrivant pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $ex{p}_a\left(x\right)=a^x$

III- Fonction exponentielle de base a

3-3/ Une autre écriture de la fonction $ex{p}_a$

Proposition 10

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$.

Alors :

$$\begin{gathered} \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) y=a^x\iff x=\frac{\ln y}{\ln a} \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) {\log }_a\left(a^x\right)=x \\ \left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) a^{{\log }_a\left(x\right)}=x \\ \left(\forall x,y\in \mathrm{ℝ}\right) a^{x+y}=a^x.a^y et a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y} \end{gathered}$$

III- Fonction exponentielle de base a

3-3/ Une autre écriture de la fonction $ex{p}_a$

Remarque

On a supposé que $a>0$ et $a\ne 1$, et après avoir prolongé l’écriture expa sous la forme d’une puissance de $a$, on a obtenu : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) a^x=e^{x\ln a}$

Le fait que $e^0=1$ nous conduit à poser « par convention » : $1^x=1$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

On a donc : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall a\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) a^x=e^{x\ln a}$

III- Fonction exponentielle de base a

3-3/ Une autre écriture de la fonction $ex{p}_a$

Proposition 11

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

Alors, pour tout $(x,y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ :

$$\begin{gathered} a^{x+y}=a^x\times a^y ; a^{-x}=\frac{1}{a^x} ; a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y} \\ {\left(a^x\right)}^y=a^{xy} ; {\left(ab\right)}^x=a^x.b^x ; {\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x} \end{gathered}$$

III- Fonction exponentielle de base a

3-4/ Étude de la fonction $ex{p}_a$

Proposition 12

La fonction $ex{p}_a$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$, et on a pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ :

$\left(ex{p}_a\right)\text{'}\left(x\right)=\left(a^x\right)\text{'}=\left(\ln a\right)a^x$

III- Fonction exponentielle de base a

3-4/ Étude de la fonction $ex{p}_a$

Proposition 13

Si $a>1$ alors la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement croissante sur $\mathrm{ℝ}$ :

$\left(\forall \left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) x<y\iff a^x<a^y$

Si $0<a<1$ alors la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante sur $\mathrm{ℝ}$ :

$\left(\forall \left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) x<y\iff a^x>a^y$

III- Fonction exponentielle de base a

3-4/ Étude de la fonction $ex{p}_a$

Proposition 14

Si $a>1$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$.

Si $0<a<1$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$.