Séance 5-1-1 : Fonctions exponentielles - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Fonction exponentielle népérienne

1-1/ Définition et propriétés élémentaires

1-2/ Propriétés algébriques

1-3/ Une autre écriture de la fonction exp

1-4/ Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

1-5/ Limites fondamentales

I- Fonction exponentielle népérienne

1-1/ Définition et propriétés élémentaires

Définition 1

La fonction réciproque de la fonction logarithme népérienne est appelée la fonction exponentielle népérienne (ou la fonction exponentielle), et on la note $exp$.

Remarques

La fonction $\ln$ est une bijection de ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ vers $\mathrm{ℝ}$ : $\left(\forall \beta \in \mathrm{ℝ}\right) \left(\exists !\alpha \in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) \beta =\ln \left(\alpha \right)$

Par définition de la fonction exp : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left(\forall y\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) \left(y=exp\left(x\right)\iff x=\ln \left(y\right)\right)$

$exp\left(0\right)=1$ et $exp\left(1\right)=e$ car $\ln \left(1\right)=0$ et $\ln \left(e\right)=1$.

I- Fonction exponentielle népérienne

1-1/ Définition et propriétés élémentaires

Proposition 1

La fonction exp est une bijection de $\mathrm{ℝ}$ dans ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

La fonction exp est continue et strictement croissante sur $\mathrm{ℝ}$.

On a pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $exp\left(x\right)>0$ et $\ln \left(exp\left(x\right)\right)=x$.

On a pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ : $exp\left(\ln x\right)=x$.

Corollaire

Pour tout $\left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ : $exp\left(x\right)=exp\left(y\right)\iff x=y$ et $exp\left(x\right)<exp\left(y\right)\iff x<y$.

Pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $\left(exp\left(x\right)=1\iff x=0\right)$ et $\left(exp\left(x\right)<1\iff x<0\right)$ et $\left(exp\left(x\right)>1\iff x>0\right)$.

I- Fonction exponentielle népérienne

1-2/ Propriétés algébriques

Proposition 2

Pour tous réels $x$ et $y$, on a : $exp\left(x+y\right)=exp\left(x\right)\times exp\left(y\right)$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-2/ Propriétés algébriques

Proposition 3

Pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ et pour tous réels $x_1,x_2,....,x_n$, on a :

$exp\left(x_1+x_2+....+x_n\right)=exp\left(x_1\right)\times exp\left(x_2\right)\times ....\times exp\left(x_n\right)$

c’est-à-dire :

$exp\left(\sum _{k=1}^n{x}_k\right)=\prod _{k=1}^{n}exp\left(x_k\right)$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-2/ Propriétés algébriques

Proposition 4

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels, et $r$ un nombre rationnel.

Alors :

$exp\left(-x\right)=\frac{1}{exp\left(x\right)} ; exp\left(x-y\right)=\frac{exp\left(x\right)}{exp\left(y\right)} ; exp\left(rx\right)={\left(exp\left(x\right)\right)}^r$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-3/ Une autre écriture de la fonction exp

On a $exp\left(1\right)=e$.

On a déjà vu que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ et pour tout $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ : $exp\left(rx\right)={\left(exp\left(x\right)\right)}^r$

En particulier pour $x=1$ : $exp\left(r\right)=(exp{\left(1\right))}^r=e^r$

On prolongera cette écriture en notant pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $exp\left(x\right)=e^x$

Remarquons enfin que cette nouvelle notation est compatible avec les notations des puissances connues.

Avec cette nouvelle notation, on résumera les résultats vus précédemment comme suit :

$$\begin{gathered} \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) : y=e^x\iff x=\ln y \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : e^x>0 \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : \ln \left(e^x\right)=x \\ \left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) : e^{\ln x}=x \\ \left(\forall x,y\in \mathrm{ℝ}\right) : \left(e^x=e^y\iff x=y\right) et \left(e^x<e^y\iff x<y\right) \\ \left(\forall x,y\in \mathrm{ℝ}\right) : \left(e^{x+y}=e^x\times e^y\right) et \left(e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\right) \\ \left(\forall x,y\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall r\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right) : e^{rx}={\left(e^x\right)}^r \end{gathered}$$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-4/ Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

Proposition 5

La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$, et on a : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) exp\text{'}\left(x\right)=exp\left(x\right)$

Ce qui s'écrit aussi : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left(e^x\right)\text{'}=e^x$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-4/ Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

Proposition 6

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $x\mapsto e^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur $I$ et on a :

$\left(\forall x\in I\right) \left(e^{u\left(x\right)}\right)\text{'}=u\text{'}\left(x\right).e^{u\left(x\right)}$

Corollaire

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Les primitives de la fonction $x\mapsto u\text{'}\left(x\right).e^{u\left(x\right)}$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto e^{u\left(x\right)}+\lambda$ où $\lambda$ est une constante réelle.

I- Fonction exponentielle népérienne

1-5/ Limites fondamentales

Proposition 7

On a les limites fondamentales suivantes :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0 ; \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0 ; \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

Si $\alpha$ est un réel non nul alors :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\alpha x}-1}{x}=\alpha ; \underset{x\to \alpha }{\lim }\frac{e^x-e^{\alpha }}{x-\alpha }=e^{\alpha }$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-5/ Limites fondamentales

Proposition 8

Pour tout entier naturel $n$, on a :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0 \end{gathered}$$