Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM
Séance 6 (Trigonométrie)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Formules de transformations de sin(a±b), cos(a±b) et tan(a±b)
1-1/ Transformations de sin(a±b) et cos(a±b)
1-2/ Transformations de tan(a±b)
II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes
2-1/ Transformations des sommes à des produits
2-2/ Transformations des produits à des sommes
III- Autres formules de transformations
3-1/ Transformation de acosx+bsinx
3-2/ Transformations de sinx, cosx et tanx en fonction de t=tanx2
IV- Équations trigonométriques (Rappel)
4-1/ Équation de la forme x∈ℝ/cosx=a
4-2/ Équation de la forme x∈ℝ/sinx=a
4-3/ Équation de la forme x∈ℝ\{π2+kπ/k∈ℤ}/tanx=a
4-4/ Équation de la forme x∈ℝ/acosx+bcosx=c
V- Cercle trigonométrique
VI- Exercices
6-1/ Exercice 1
6-2/ Exercice 2
6-3/ Exercice 3
6-4/ Exercice 4
I- Formules de transformations de sin(a±b), cos(a±b) et tan(a±b)
1-1/ Transformations de sin(a±b) et cos(a±b)
Formules
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
Conséquences
Si a=b on obtient : sin2a=2sinacosa et cos2a=cos2a-sin2a
D’après cos2a+sin2a=1, on obtient cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sin2a=1-cos2a2 et cos2a=1+cos2a2
Exemple
I- Formules de transformations de sin(a±b), cos(a±b) et tan(a±b)
1-2/ Transformations de tan(a±b)
Soient a,b∈ℝ tel que a≠π2+kπ et a+b≠π2+kπ et a-b≠π2+kπ avec k∈ℤ.
On a :
tan(a+b)=tana+tanb1-tana×tanbtan(a-b)=tana-tanb1+tana×tanbtan(2a)=2tana1-tan2a
Exemple
II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes
2-1/ Transformations des sommes à des produits
cosa+cosb=2cos(a+b2)cos(a-b2)cosa-cosb=2sin(a+b2)sin(a-b2)sina+sinb=2sin(a+b2)cos(a-b2)sina-sinb=-2cos(a+b2)sin(a-b2)
Exemple
II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes
2-2/ Transformations des produits à des sommes
cosa×cosb=12[cos(a+b)+cos(a-b)]sina×sinb=12[cos(a+b)-cos(a-b)]sina×cosb=12[sin(a+b)+sin(a-b)]
Exemple
III- Autres formules de transformations
3-1/ Transformation de acosx+bsinx
Soient a,b∈ℝ*.
On a :
acosx+bsinx=√a2+b2×sin(x+α) avec sinα=a√a2+b2 et cosα=b√a2+b2
acosx+bsinx=√a2+b2×cos(x-α) avec cosα=a√a2+b2 et sinα=b√a2+b2
Exemple
III- Autres formules de transformations
3-2/ Transformations de sinx, cosx et tanx en fonction de t=tanx2
On pose t=tanx2 avec x≠π+2kπ et x≠π2+kπ avec k∈ℤ.
On a :
cosx=1-t21+t2 ; sinx=2t1+t2 ; cosx=2t1-t2
Exemple
IV- Équations trigonométriques (Rappel)
4-1/ Équation de la forme x∈ℝ/cosx=a
a est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation x∈ℝ/cosx=a.
Si a∈]-∞,-1[∪]1,+∞[, alors S=∅ (pas de solution)
Si a∈[-1,1], on cherche α tel que a=cosα, d’où :
cosx=a⇔cosx=cosα⇔{x=α+2kπx=-α+2kπ; k∈ℤ
Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :
S={α+2kπ,-α+2kπ/k∈ℤ}.
Cas particuliers
Si a=1, on a S={2kπ/k∈ℤ}
Si a=-1, on a S={π+2kπ/k∈ℤ}
Si a=0, on a S={π2+kπ/k∈ℤ}
Exemple
IV- Équations trigonométriques (Rappel)
4-2/ Équation de la forme x∈ℝ/sinx=a
a est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation x∈ℝ/sinx=a.
Si a∈]-∞,-1[∪]1,+∞[, alors S=∅ (pas de solution)
Si a∈[-1,1], on cherche α tel que a=sinα, d’où :
sinx=a⇔sinx=sinα⇔{x=α+2kπx=π-α+2kπ; k∈ℤ
Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :
S={α+2kπ,π-α+2kπ/k∈ℤ}.
Cas particuliers
Si a=1, on a S={π2+2kπ/k∈ℤ}
Si a=-1, on a S={-π2+2kπ/k∈ℤ}
Si a=0, on a S={kπ/k∈ℤ}
Exemple
IV- Équations trigonométriques (Rappel)
4-3/ Équation de la forme x∈ℝ\{π2+kπ/k∈ℤ}/tanx=a
a est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation x∈ℝ\{π2+kπ/k∈ℤ}/tanx=a.
On cherche α tel que a=tanα, d’où :
tanx=a⇔tanx=tanα⇔x=α+kπ; k∈ℤ
Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :
S={α+kπ/k∈ℤ}.
Exemple
IV- Équations trigonométriques (Rappel)
4-4/ Équation de la forme x∈ℝ/acosx+bcosx=c
Pour résoudre l’équation suivante (E):x∈ℝ/acosx+bcosx=c, on suit les étapes suivantes :
Étape 1
On écrit l’équation sous la forme suivante :
(E)⇔√a2+b2[a√a2+b2cosx+b√a2+b2sinx]=c
Puis on l’écrit :
(E)⇔√a2+b2[cosαcosx+sinαsinx]=cou(E)⇔√a2+b2[sinαcosx+cosαsinx]=c
Puis on l’écrit :
cos(x-α)=c√a2+b2ousin(x-α)=c√a2+b2
Étape 2
Au lieu de résoudre l’équation (E):x∈ℝ/acosx+bcosx=c, on résout l’équation :
cos(x-α)=c√a2+b2ousin(x-α)=c√a2+b2
Étape 3
Ensemble de solution de l’équation est lié à la valeur de c√a2+b2
Si c√a2+b2∉[-1,1], l’équation n’a pas de solution : S=∅
Si c√a2+b2∈[-1,1], on cherche β tel que cosβ=c√a2+b2 (ou sinβ=c√a2+b2)
D’où :
(E)⇔cos(x-α)=cosβou(E)⇔sin(x+α)=sinβ
Exemple
V- Cercle trigonométrique
VI- Exercices
6-1/ Exercice 1
Soit x∈ℝ.
- Transformer en produit les expressions suivantes :
A(x)=cosx+cos3xB(x)=cos2x+cos4x
- En déduire que :
cosx+cos2x+cos3x+cos4x=4.cosx.cos(x2).cos(5x2)
- Montrer que :
sinx+sin2x+sin3x+sin4x=4.cosx.cos(x2).sin(5x2)
VI- Exercices
6-2/ Exercice 2
On considère l’expression suivante : A(x)=4√3cos4x+√3sin2(2x)-2sin(2x) ; (x∈ℝ)
- Montrer que : 4cos4x=4cos2x-sin2(2x)
- En déduire que : A(x)=4cosx.(√3cosx-sinx)
- Montrer que : A(x)=8cosx.cos(x+π6)
- Résoudre dans ℝ l’équation : A(x)=0
VI- Exercices
6-3/ Exercice 3
- Résoudre dans ℝ l’équation : (E1) : cosx+√3sinx=-1
- Résoudre dans ℝ l’équation : (E2) : √3cos(2x)-sin(2x)=-√2
- Résoudre dans [-π;π] l’inéquation : √3cosx-sinx≤-√2
VI- Exercices
6-4/ Exercice 4
Pour tout x∈ℝ, on pose : A(x)=√3sin(4x)-8sin2x.cos2x
- Résoudre dans ℝ l’équation : 2cosx-1=0
- Montrer que : (∀x∈ℝ) : 1-cos(4x)=8sin2x.cos2x
- En déduire que : (∀x∈ℝ) : A(x)=2cos(4x-π3)-1
- Résoudre dans ℝ l’équation : A(x)=0
- Résoudre dans l’intervalle [-π6;π3] l’inéquation : A(x)≤0