Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 6 (Trigonométrie)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Formules de transformations de sin(a±b)cos(a±b) et tan(a±b)

1-1/ Transformations de sin(a±b) et cos(a±b)

1-2/ Transformations de tan(a±b)

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

2-2/ Transformations des produits à des sommes

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de acosx+bsinx

3-2/ Transformations de sinxcosx et tanx en fonction de t=tanx2

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme x/cosx=a

4-2/ Équation de la forme x/sinx=a

4-3/ Équation de la forme x\{π2+kπ/k}/tanx=a

4-4/ Équation de la forme x/acosx+bcosx=c

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

 


I- Formules de transformations de sin(a±b)cos(a±b) et tan(a±b)

 

1-1/ Transformations de sin(a±b) et cos(a±b)

Formules

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

Conséquences

Si a=b on obtient : sin2a=2sinacosa et cos2a=cos2a-sin2a

D’après cos2a+sin2a=1, on obtient cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sin2a=1-cos2a2 et cos2a=1+cos2a2

Exemple

 

 

 

1-2/ Transformations de tan(a±b)

Soient a,b tel que aπ2+kπ et a+bπ2+kπ et a-bπ2+kπ avec k.

On a :

tan(a+b)=tana+tanb1-tana×tanbtan(a-b)=tana-tanb1+tana×tanbtan(2a)=2tana1-tan2a

Exemple

 

 

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

 

2-1/ Transformations des sommes à des produits

cosa+cosb=2cos(a+b2)cos(a-b2)cosa-cosb=2sin(a+b2)sin(a-b2)sina+sinb=2sin(a+b2)cos(a-b2)sina-sinb=-2cos(a+b2)sin(a-b2)

Exemple

 

 

 

2-2/ Transformations des produits à des sommes

cosa×cosb=12[cos(a+b)+cos(a-b)]sina×sinb=12[cos(a+b)-cos(a-b)]sina×cosb=12[sin(a+b)+sin(a-b)]

Exemple

 

 

III- Autres formules de transformations

 

3-1/ Transformation de acosx+bsinx

Soient a,b*.

 

On a :

acosx+bsinx=a2+b2×sin(x+α) avec sinα=aa2+b2 et cosα=ba2+b2

acosx+bsinx=a2+b2×cos(x-α) avec cosα=aa2+b2 et sinα=ba2+b2

Exemple

 

 

 

3-2/ Transformations de sinxcosx et tanx en fonction de t=tanx2

On pose t=tanx2 avec xπ+2 et xπ2+ avec k.

On a :

cosx=1-t21+t2   ;   sinx=2t1+t2   ;   cosx=2t1-t2

Exemple

 

 

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

 

4-1/ Équation de la forme x/cosx=a

a est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation x/cosx=a.

Si a]-,-1[]1,+[, alors S= (pas de solution)

Si a[-1,1], on cherche α tel que a=cosα, d’où :

cosx=acosx=cosα{x=α+2kπx=-α+2kπ; k

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

S={α+2kπ,-α+2/k}.

Cas particuliers

Si a=1, on a S={2kπ/k}

Si a=-1, on a S={π+2kπ/k}

Si a=0, on a S={π2+kπ/k}

Exemple

 

 

 

4-2/ Équation de la forme x/sinx=a

a est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation x/sinx=a.

Si a]-,-1[]1,+[, alors S= (pas de solution)

Si a[-1,1], on cherche α tel que a=sinα, d’où :

sinx=asinx=sinα{x=α+2kπx=π-α+2kπ; k

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

S={α+2kπ,π-α+2/k}.

Cas particuliers

Si a=1, on a S={π2+2kπ/k}

Si a=-1, on a S={-π2+2kπ/k}

Si a=0, on a S={kπ/k}

Exemple

 

 

 

4-3/ Équation de la forme x\{π2+kπ/k}/tanx=a

a est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation x\{π2+kπ/k}/tanx=a.

On cherche α tel que a=tanα, d’où :

tanx=atanx=tanαx=α+kπ; k

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

S={α+kπ/k}.

Exemple

 

 

 

4-4/ Équation de la forme x/acosx+bcosx=c

Pour résoudre l’équation suivante (E):x/acosx+bcosx=c, on suit les étapes suivantes :

Étape 1

On écrit l’équation sous la forme suivante :

(E)a2+b2[aa2+b2cosx+ba2+b2sinx]=c

Puis on l’écrit :

(E)a2+b2[cosαcosx+sinαsinx]=cou(E)a2+b2[sinαcosx+cosαsinx]=c

Puis on l’écrit :

cos(x-α)=ca2+b2ousin(x-α)=ca2+b2

Étape 2

Au lieu de résoudre l’équation (E):x/acosx+bcosx=c, on résout l’équation :

cos(x-α)=ca2+b2ousin(x-α)=ca2+b2

Étape 3

Ensemble de solution de l’équation est lié à la valeur de ca2+b2

Si ca2+b2[-1,1], l’équation n’a pas de solution : S=

Si ca2+b2[-1,1], on cherche β tel que cosβ=ca2+b2 (ou sinβ=ca2+b2)

D’où :

(E)cos(x-α)=cosβou(E)sin(x+α)=sinβ

Exemple

 

 

V- Cercle trigonométrique

 

 

VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

Soit x.

  1. Transformer en produit les expressions suivantes :

A(x)=cosx+cos3xB(x)=cos2x+cos4x

  1. En déduire que :

cosx+cos2x+cos3x+cos4x=4.cosx.cos(x2).cos(5x2)

  1. Montrer que :

sinx+sin2x+sin3x+sin4x=4.cosx.cos(x2).sin(5x2)

 

 

6-2/ Exercice 2

On considère l’expression suivante : A(x)=43cos4x+3sin2(2x)-2sin(2x) ; (x)

  1. Montrer que : 4cos4x=4cos2x-sin2(2x)
  1. En déduire que : A(x)=4cosx.(3cosx-sinx)
  1. Montrer que : A(x)=8cosx.cos(x+π6)
  1. Résoudre dans  l’équation : A(x)=0

 

 

6-3/ Exercice 3

  1. Résoudre dans  l’équation : (E1) : cosx+3sinx=-1
  1. Résoudre dans  l’équation : (E2) : 3cos(2x)-sin(2x)=-2
  1. Résoudre dans [-π;π] l’inéquation : 3cosx-sinx-2

 

 

6-4/ Exercice 4

Pour tout x, on pose : A(x)=3sin(4x)-8sin2x.cos2x

  1. Résoudre dans  l’équation : 2cosx-1=0
  1. Montrer que : (x) : 1-cos(4x)=8sin2x.cos2x
  1. En déduire que : (x) : A(x)=2cos(4x-π3)-1
  1. Résoudre dans  l’équation : A(x)=0
  1. Résoudre dans l’intervalle [-π6;π3] l’inéquation : A(x)0