Séance 2 - Généralités sur les fonctions

Sommaire

I- Rappels

1-1/ Fonction numérique

1-2/ Fonction paire – fonction impaire

1-3/ Monotonie d’une fonction numérique

1-4/ Taux d’accroissement d’une fonction $f$

II- Fonction majorée – Fonction minorée – Fonction bornée

2-1/ Définitions 

2-2/ Extremums d’une fonction

2-3/ Fonction périodique

III- Comparaison de deux fonctions et interprétation géométrique

3-1/ Égalité de deux fonctions

3-2/ Comparaison de deux fonctions

IV- Composée de deux fonctions

4-1/ Vocabulaire

4-2/ Définition

4-3/ Monotonie de fonctions composées

V- Étude et représentation graphique de certaines fonctions

5-1/ Fonction $f\left(x\right)=a{x}^3 \left(a\ne 0\right)$

5-2/ Fonction $f\left(x\right)=\sqrt{x+a}$

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Rappels

1-1/ Fonction numérique

Toute relation $f$ qui associe chaque élément $x$ au plus  de $\mathrm{ℝ}$ par un élément  $y$ de $\mathrm{ℝ}$ est appelée fonction numérique de la variable réelle $x$.

On note : $$\begin{gathered} f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto f\left(x\right) \end{gathered}$$

Tous les éléments $x$ de qui ont images par $f$ constituent un ensemble qu'on l’appelle ensemble de définition (ou encore domaine de définition), on le note ${\mathcal{D}}_f$ ou $D_f$.

I- Rappels

1-2/ Fonction paire – fonction impaire

$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $D_f$.

$f$ est paire sur $D_f\iff \left\{\begin{array}{l}\forall x\in D_f , -x\in D_f\\ \forall x\in D_f , f\left(-x\right)=f\left(x\right)\end{array}\right.$

$f$ est impaire sur $D_f\iff \left\{\begin{array}{l}\forall x\in D_f , -x\in D_f\\ \forall x\in D_f , f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{array}\right.$

I- Rappels

1-3/ Monotonie d’une fonction numérique

définition : 

$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur un intervalle $I$.

$f$ est une fonction croissante sur $I\iff \left(\forall x,x\text{'}\in I;x\le x\text{'}\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(x\text{'}\right)\right)$

$f$ est une fonction strictement croissante sur $I\iff \left(\forall x,x\text{'}\in I;x<x\text{'}\Rightarrow f\left(x\right)<f\left(x\text{'}\right)\right)$

$f$ est une fonction décroissante sur $I\iff \left(\forall x,x\text{'}\in I;x\le x\text{'}\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(x\text{'}\right)\right)$

$f$ est une fonction strictement décroissante sur $I\iff \left(\forall x,x\text{'}\in I;x<x\text{'}\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(x\text{'}\right)\right)$

$f$ est une fonction constante sur $I\iff \left(\forall x,x\text{'}\in I;f\left(x\right)=f\left(x\text{'}\right)\right)$

I- Rappels

1-4/ Taux d’accroissement d’une fonction $f$

Définition

$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur un intervalle $I$.

Soient $x,x\text{'}\in I$ tel que $x\ne x\text{'}$, le nombre $\frac{f\left(x\right)-f\left(x\text{'}\right)}{x-x\text{'}}$ s’appelle le taux d’accroissement de la fonction $f$ entre $x$ et $x\text{'}$, on le note $T_f$.

I- Rappels

1-4/ Taux d’accroissement d’une fonction $f$

Propriétés

$T_f$ est le taux d’accroissement de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$.

Si $T_f\le 0$ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$.

Si $T_f<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Si $T_f\ge 0$ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$.

Si $T_f>0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Si $T_f=0$ alors la fonction $f$ est constante sur $I$.

II- Fonction majorée – Fonction minorée – Fonction bornée

2-1 Définitions

$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $I\subset D_f$.

Soient $M,m\in \mathrm{ℝ}$

La fonction $f$ est majorée par $M$ sur $I$ si et seulement si $\forall x\in I ; f\left(x\right)\le M$.

La fonction $f$ est minorée par $m$ sur $I$ si et seulement si $\forall x\in I ; f\left(x\right)\ge m$.

La fonction $f$ est bornée sur $I$ si et seulement si $f$ est majorée et minorée sur $I$.

Remarque

La fonction $f$ est bornée sur $I\iff \left(\exists A\in {\mathrm{ℝ}}^{+} , \forall x\in I : \left|f\left(x\right)\right|\le A\right)$

Exemple

II- Fonction majorée – Fonction minorée – Fonction bornée

2-2/ Extremums d’une fonction

$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $D_f$ tel que $x_0\in D_f$.

$f\left(x_0\right)$ est valeur maximale absolue de $f$ si et seulement si $\forall x\in D_f , f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$.

$f\left(x_0\right)$ est valeur minimale absolue de $f$ si et seulement si $\forall x\in D_f , f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right)$.

II- Fonction majorée – Fonction minorée – Fonction bornée

2-3/ Fonction périodique

$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $D_f$.

Soit $T\in {\mathrm{ℝ}}^{+}*$

La fonction $f$ est périodique sur $D_f$ et son période est $T$ si et seulement si :

$$\begin{gathered} \overline{)1} x\in D_f\Rightarrow \left(x+T\in D_f et x-T\in D_f\right) \\ \overline{)2} \forall x\in D_f : f\left(x+T\right)=f\left(x\right) \end{gathered}$$

Exemple

III- Comparaison de deux fonctions et interprétation géométrique

3-1/ Égalité de deux fonctions

Soit f et g deux fonctions numériques dont les ensembles de définition sont respectivement Df et Dg.
On dit que f et g sont égales, et on note f = g, si    $\left\{\begin{array}{l}{D}_f= D_g\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.$

III- Comparaison de deux fonctions et interprétation géométrique

3-2/ Comparaison de deux fonctions

Soient $f$ et g deux fonctions définies sur $I$.

- $(f\le g$ sur $I)\iff \left(\forall x\in I : f\left(x\right)\le g\left(x\right)\right)$. La courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est située au dessous de la courbe $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ sur $I$.

- $(f>g$ sur $I)\iff \left(\forall x\in I : f\left(x\right)>g\left(x\right)\right)$. La courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est située strictement au dessus de la courbe $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ sur $I$.

- $(f=g$ sur $I)\iff \left(\forall x\in I : f\left(x\right)=g\left(x\right)\right)$. La courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et la courbe $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ sont confondues sur $I$.

- $f$ est une fonction positive sur $D_f$ si et seulement si $\forall x\in D_f : f\left(x\right)\ge 0$. La courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ de $f$ est située au dessus de l’axe des abscisses.

- $f$ est une fonction strictement négative sur $D_f$ si et seulement si . La courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ de $f$ est située strictement au dessous de l’axe des abscisses.

Exemple

IV- Composée de deux fonctions

4-1/ Vocabulaire

La fonction $h:x\to h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$, on la note par $h=g\circ f$, d’où : $h\left(x\right)=g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$.

La fonction $g\circ f$ est appelée la composée des fonction $f$ et $g$ dans cet ordre.

On peut faire le diagramme suivant pour $g\circ f$ :

IV- Composée de deux fonctions

4-2/ Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $D_f$ et $D_g$ et   $f\left(D_f\right)\subset D_g$.

On pose : $D_{g\circ f}=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/x\in D_f et f\left(x\right)\in D_g\right\}$.

La fonction $h$ définie sur $D_{g\circ f}$ par $h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$ est appelée la composée des fonction $f$ et $g$ dans cet ordre.

On note $h=g\circ f$.

IV- Composée de deux fonctions

4-3/ Monotonie de fonctions composées

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $D_f$ et $D_g$ et $f\left(D_f\right)\subset D_g$.

- Si $f$ et $g$ ont même monotonie (strictement monotone) respectivement sur $D_f$ et $f\left(D_f\right)\subset D_g$, alors $g\circ f$ est croissante sur $D_f$ ($g\circ f$ est strictement croissante sur $D_f$).

- Si $f$ et $g$ ont monotonie (strictement monotone) opposées respectivement sur $D_f$ et $f\left(D_f\right)\subset D_g$, alors $g\circ f$ est décroissante sur $D_f$ ($g\circ f$ est strictement décroissante sur $D_f$).

Exemple

V- Étude et représentation graphique de certaines fonctions

5-1/ Fonction $f\left(x\right)=a{x}^3 \left(a\ne 0\right)$

1er cas $\left(a>0\right)$

V- Étude et représentation graphique de certaines fonctions

5-1/ Fonction $f\left(x\right)=a{x}^3 \left(a\ne 0\right)$

2nd cas $\left(a<0\right)$

V- Étude et représentation graphique de certaines fonctions

5-2/ Fonction $f\left(x\right)=\sqrt{x+a}$

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

1. Montrer que la fonction $f$ est majorée par $M$ dans chacune des cas suivantes :

a) $f\left(x\right)=-x^2+2x$ et $M=1$.

b) $f\left(x\right)=\frac{3x^2+2}{x^2+1}$ et $M=3$.

c) $f\left(x\right)=\frac{4}{x^2+2}$ et $M=2$.

2. Montrer que la fonction $f$ est minorée par $m$ dans chacune des cas suivantes :

a) $f\left(x\right)=x^2+4x$ et $m=-4$.

b) $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$ et $m=1$.

3. Montrer que la fonction $f$ est bornée par $M$ et $m$ dans chacune des cas suivantes :

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$ et $M=0$ et $m=-1$.

b) $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+\sqrt{3}$ et $M=3$ et $m=0$.

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=x^2+2x+3$

1. Montrer que $f\left(-1\right)$ est le minimum de $f$ sur $\mathrm{ℝ}$.

Soit $g$ la fonction définie par : $g\left(x\right) =\frac{x^2+1}{x^2+x+1}$

2. Montrer que $g(-1)$ est le maximum de $g$ sur $\mathrm{ℝ}$.

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Soient $f$ et $g$ deux fonctions.

Déterminer $D_{g\circ f}$ l’ensemble de définition de la fonction $g\circ f$, et $D_{f\circ g}$ l’ensemble de définition de la fonction $f\circ g$, et déterminer les expressions $g\circ f\left(x\right)$ et $f\circ g\left(x\right)$, dans chacune des cas suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=x^2 ; g\left(x\right)=x^3 \\ \overline{)2} f\left(x\right)=x^2-5 ; g\left(x\right)=\frac{1}{x} \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\sqrt{x} ; g\left(x\right)=x^2 \\ \overline{)4} f\left(x\right)=\sqrt{x-8} ; g\left(x\right)=x^3 \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Déterminer les variations de la fonction $f$ dans chacune des cas suivantes :

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

En utilisant la propriété de la monotonie de la composée de deux fonction, étudier la monotonie de la fonction $f$ sur les intervalle $I$ et $J$ dans chacune des cas suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1} ; I={\mathrm{ℝ}}^{+} ; J={\mathrm{ℝ}}^{-} \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+3} ; I={\mathrm{ℝ}}^{+} ; J={\mathrm{ℝ}}^{-} \\ \overline{)3} f\left(x\right)={\sin }^2\left(x\right) ; I=\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right] ; J=\left[\frac{\mathrm{\pi }}{2};\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ dans chacune des cas suivantes :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f\left(x\right)=\frac{4}{x^3}$ et $g\left(x\right)=\sqrt{x+2}$.

2. Représenter graphiquement $f$ et $g$.

3. Résoudre graphiquement l’équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

4. Résoudre graphiquement l’équation $f\left(x\right)<g\left(x\right)$.

5. Vérifier algébriquement les solutions précédentes.