Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM – Eco

Séance 1 (Notions de logique)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Définitions

1-1/ Proposition

1-2/ Fonction propositionnelle

1-3/ Quantificateurs

II- Opérations sur les propositions

2-1/ La négation d’une proposition

2-2/ La conjonction de deux propositions – La disjonction de deux propositions

2-3/ L’implication de deux propositions

2-4/ L’équivalence de deux propositions

2-5/ Les lois logiques

III- Types de raisonnements

3-1/ Raisonnement par contre exemple

3-2/ Raisonnement par des équivalences successives

3-3/ Raisonnement déductif

3-4/ Raisonnement par la contraposée

3-5/ Raisonnement par la disjonction des cas

3-6/ Raisonnement par l'absurde

3-7/ Raisonnement par la récurrence

V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

5-7/ Exercice 7

 


I- Définitions

 

1-1/ Proposition

tout  énoncé mathématique (texte mathématique) qui a un sens pouvant être vrai ou faux (mais pas les deux en même temps) est une proposition.

On note souvent une proposition par les lettres P, Q ou R ..etc...

Exemple

 

 

1-2/ Fonction propositionnelle

On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé mathématique contenant une variable x ou plusieurs variables (x,y, z,...), et qui appartiennent à des ensembles déterminés.

On note P(x) ou P(x,y;z,...).

Exemple

 

 

1-3/ Quantificateurs

Quantificateur universel

L’expression suivante « pour tout x de E la proposition Q(x) est vraie », on la note : «xE , Qx» .

Le symbole  s’appelle quantificateur universel et il se lit :

  • pour tout
  • quel que soit

Exemple :

  • «x , x2=x»

 

 

Quantificateur existentiel

L’expression suivante « il existe un x de E tel que la proposition Q(x) est vraie », on la note : «xE , Qx» .

Le symbole  s’appelle quantificateur existentiel et il se lit :

  • il existe

Exemple :

  • «x , x+21»

 

 

Symbole !

L’expression suivante « il existe un unique x de E tel que la proposition Q(x) est vraie », on la note : «!xE , Qx» .

Exemple :

  • «!x , x+2=1»

 

 

Remarques

- L’ordre des quantificateurs de même type (universel ou bien existentiel) ne change pas le sens de la fonction propositionnelle.

- L’ordre des quantificateurs de types différents  (universel et existentiel) change le sens de la fonction propositionnelle.

- La négation du quantificateur  est le quantificateur .

- La négation du quantificateur  est le quantificateur .

- Les écritures suivantes sont équivalentes :

xE,yEx,yEx,yE×E

- Les écritures suivantes sont équivalentes :

xE,yEx,yEx,yE×E

 

II- Opérations sur les propositions

 

2-1/ La négation d’une proposition

La négation d’une proposition P est la proposition qu’on note P ou non P  tel que les valeurs de vérité de P et P sont opposées.

 

 

2-2/ La conjonction de deux propositions – La disjonction de deux propositions

La conjonction de deux propositions

La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée PQ ou bien P et Q.

Elle est vraie seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux vraies.

 

 

La disjonction de deux propositions

La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée PQ ou bien P ou Q.

Elle est fausse seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux fausses.

 

 

Propriétés

La conjonction et la disjonction sont commutatives : PQ=QP ; PQ=QP

La conjonction et la disjonction sont associatives : PQR=PQR ; PQR=PQR 

La négation de la conjonction : PQ= PQ

La négation de la disjonction : PQ= PQ

La conjonction est distributive sur la disjonction : PQR=PQPR

La disjonction est distributive sur la conjonction : PQR=PQPR

 

 

2-3/ L’implication de deux propositions

Définition

L’implication de deux propositions P puis Q est la proposition PQ ; qu’on note par PQ.

On lit P implique Q.

La proposition P s’appelle les données (ou hypothèses) de l’implication.

La proposition Q s’appelle la conclusion de l’implication.

 

 

Propriétés

L’implication est transitive : PQQRPR

La négation de l’implication : PQ=PQ

La contraposée : PQQP

 

2-4/ L’équivalence de deux propositions

Définition

L’équivalence de deux propositions P et Q est la proposition PQQP ; qu’on note par PQ.

On lit P est équivalente à Q ou bien P si et seulement si Q.

 

 

Propriétés

L’équivalence est transitive : PQQRPR

PQ=QPPQ=PQPQ=PQQP=PQPQ

 

 

2-5/ Les lois logiques

 

Définition

Une loi logique est une proposition qui est vraie quel que soit la vérité des propositions qui la constitue.

 

 

III- Types de raisonnements

 

3-1/ Raisonnement par contre exemple

Pour prouver que la propriétés suivante est fausse xE,Px , il suffit de prouver que xE,Px est vraie (c.à.d. de trouver un élément x de E qui ne vérifie pas P(x), c'est ce qu’on appelle un contre exemple).

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par contre exemple.

Exemple

 

 

3-2/ Raisonnement par des équivalences successives

Pour démontrer que l’équivalence suivant PQ est vrai, on démontrer que : PQ1 et Q1Q2 et Q2Q3 et ... et QnQ.

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par des équivalences successives.

Exemple

 

 

3-3/ Raisonnement déductif

Si on a l’implication PQ est vraie et on a dans un exercice comme donnée la proposition P donc on déduit que la proposition Q est vraie.

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par déduction.

Exemple

 

 

3-4/ Raisonnement par la contraposée

Pour démontrer l’implication suivante PQ, il suffit de démontrer l’implication suivante QP.

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par la contraposée.

Exemple

 

 

3-5/ Raisonnement par la disjonction des cas

Lorsqu’on utilise plusieurs cas dans une démonstration, le raisonnement utilisé s’appelle raisonnement par disjonction des cas.

Exemple

 

 

3-6/ Raisonnement par l'absurde

Pour démontrer qu’une proposition Q (conclusion ou résultat), et on a parmi les données la proposition P.

On suppose que Q  et au cour de la démonstration on trouve une contradiction

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par l'absurde.

Exemple

 

 

3-7/ Raisonnement par la récurrence

Soient n0 et P(n) une relation portant sur les entiers naturels n tel que nn0.

Pour démontrer que la relation P(n) est vraie pour tout nn0, on utilise les étapes suivantes :

  • On vérifie que P(n) est vraie pour n=n0 (c.à.d. P(n0) est vraie).
  • On suppose que P(n) est vraie pour n avec nn0, la supposition s’appelle hypothèse de récurrence
  • On démontre que la relation P(n) est vraie pour n+1 ( c.à.d. P(n+1) est vraie )

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par récurrence.

Exemple

 

V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

  1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes puis déterminer leurs négations :

1 p1 : "2"2 p2 : "-22=-22"3 p3 : "π=227"4 p4 : ""5 p5 : "3 est un nombre impair"6 p6 : "9=-3 et -32=9"7 p7 : "3+7>3 ou π"8 p8 : "123 et 4=2"9 p9 : "3+5=8 ou π"

 

 

5-2/ Exercice 2

  1. Écrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs :

1 P1 : "Pour tout entier naturel n il existe un entier naturel m tel que n+m=0"

2 P2 : "Il existe un réel M tel que pour tout x, on a xM"

3 P3 : "Tout réel inférieur ou égal à 1 est négatif"

4 P4 : "Il n’existe aucun nombre rationnel solution de l’équation x2=2"

5 P5 : "La fonction f est constante sur "

6 P6 : "Tout entier naturel est pair ou impair"

7 P7 : "L’équation sinx=x a une et une seule solution dans "

8 P8 : "Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif p tel que px<p+1"

9 P9 : "Il existe au moins un élément réel α tel que pour tout x+, on a αx"

 

 

5-3/ Exercice 3

  1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes puis déterminer leurs négations :

1 p1 : x x2=362 p2 : x x2x3 p3 : n nn+1 est pair4 p4 : xy xy5 p5 : xy xy6 p6 : xy x=y27 p7 : xy x=y28 p8 : π=3,1439 p9 : a a premiera impair10 p10 : x x2x11 p11 : x x2=4x=2

 

 

5-4/ Exercice 4

Soit P la proposition suivante : x : x2-5x+40

  1. Donner la négation de la proposition P.
  1. En déduire que P est fausse.

Soit P la proposition suivante :  x : x2-x>0.

  1. Déterminer la vérité de la proposition P.
  1. Donner la négation de P.

 

 

5-5/ Exercice 5

Raisonnement par le contre-exemple
  1. Montrer que la proposition suivante est fausse : "x : x2x".
  1. Montrer que la proposition suivante est fausse : "n : n2 est pair".
  1. Montrer que la proposition suivante est fausse : "n* : n2+n+1 est un entier premier".
Raisonnement par l’absurde
  1. Montrer que x : x2+1x2-11.
  1. Montrer que x* : x2+1x+1.
  1. Montrer que x+ : xx+2x+4.
  1. Montrer que 2.

 

 

5-6/ Exercice 6

Raisonnement par les équivalences
  1. Soient a et b deux réels. Montrer que a2+b22ab.
  1. Montrer que ∀ x ∈ ℝ *   :   x 2 + 1 x2   2 .
Raisonnement par la disjonction des cas
  1. Résoudre dans  l’équation suivante : x2+x-1+1=0.
  1. Montrer que  ∀ n ∈ ℕ   :   n n + 1  est un nombre pair.

 

 

5-7/ Exercice 7

Raisonnement par la contraposée
  1. Soient x,y2. Montrer que xyx+1y-1x-1y+1.
  2. Soient x,y2. Montrer que y-34xx-yx+y7.
  3. Soient x,y]1;+[×]1;+[. Montrer que xyx2-3xy2-3y.
Raisonnement par la récurrence
  1. Montrer que n : 7n-1 est divisible par 6.
  2. Montrer que n* : 1+2+3+...+n=nn-12.