Séance 4-1-2 : Fonctions logarithmiques - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

2-2/ Exercice 1-2

2-3/ Exercice 1-3

2-4/ Exercice 1-4

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l'équation :

$10X^3-7X^2-4X+1=0$

2. En déduire dans $\mathrm{ℝ}$ les solutions de ce qui suit :

$$\begin{gathered} 10{\left(\ln x\right)}^3-7{\left(\ln x\right)}^2-4\ln x+1=0 \\ 10{\left(\ln x\right)}^3-7{\left(\ln x\right)}^2-4\ln x+1>0 \end{gathered}$$

II- Exercices I

2-2/ Exercice 1-2

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f\left(x\right)=\ln \left|\sqrt{x}-1\right|$

Et soit ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définie de $f$.

2. Calculer les limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

3. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

4. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in D_f-\left\{0\right\}$ puis dresser le tableau de variations de $f$.

5. Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ admet un point d’inflexion $I$ dont on déterminera les coordonnées.

6. Déterminer $A$ le point d’intersection de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ avec l'axe des abscisses et différent de $O$.

7. Étudier les branches infinies de la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

8. Tracer la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

II- Exercices I

2-3/ Exercice 1-3

​

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x{\left(\ln x\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2 ; x\ne 0\\ f\left(0\right)=-1\end{array}\right.$ ;

1. Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty [$.

2. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$.

3. Calculer les limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$, et donner une interprétation géométrique

4. Montrer que $\left(\forall x>0\right) ; \ln x\le x-1$

5. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ et $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ et vérifier que $f\text{'}\left(1\right)=0$

6. Déduire le signe de $f\text{'}\left(x\right)$, puis dresser le tableau de variation de $f$.

7. Construire la courbe da la fonction $f$.

II- Exercices I

2-4/ Exercice 1-4

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie par $g\left(x\right)=x-\left(1+x\right)\ln \left(1+x\right)$.

1. Déterminer $D_g$ et calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)$.

2. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ et donner le tableau de variation de $g$.

3. Déduire le signe de $g\left(x\right)$ (remarquer que $g\left(0\right)=0$).

Partie 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1,+\infty [$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x}{\ln \left(1+x\right)} ; x\ne 0 et x\ne -1\\ f\left(0\right)=1 et f\left(-1\right)=0\end{array}\right.$

1. Montrer $f$ que au point $0$ et à droite de $-1$.

2. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $-1$.

3. Montrer que $\left(\forall x\ge 0\right) ; x-\frac{x^2}{2}\le \ln \left(1+x\right)\le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$.

4. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$.

Soit $x$ un réel de $]-1;0[$, et on considère la fonction $\phi$ définie sur $]-1;0[$ par :

$\phi \left(t\right)=t^2\left(x-\ln \left(1+x\right)\right)-x^2\left(t-\ln \left(1+t\right)\right)$

5. Montrer que $\left(\exists c\in ]x;0[\right) \frac{x-\ln \left(1+x\right)}{x^2}=\frac{1}{2\left(1+c\right)}$, et étudier la dérivabilité de $f$ à gauche de $0$.

6. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, et étudier la branche infinie de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.

7. Montrer que $\left(\forall x\in ]-1;+\infty [-\left\{0\right\}\right) ; f\text{'}\left(x\right)=\frac{-g\left(x\right)}{\left(1+x\right){\left(\ln \left(1+x\right)\right)}^2}$.

8. Dresser le tableau de variation de $f$.

9. Étudier la position de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ par apport à $\left(\Delta \right) y=x$, et construire la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.