Mathématiques : 1ère Année Collège

Séance 17 (Quadrilatères particuliers)

 

 

Professeur : Mr BENGHANI Youssef

 

Sommaire

 

I- Le rectangle

1-1/ Définition

1-2/ Propriétés des diagonales

1-3/ Axes et centre de symétrie

II- Le losange

2-1/ Définition

2-2/ Propriétés des diagonales

2-3/ Axes et centre de symétrie

III- Le carré

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés des diagonales

3-3/ Axes et centre de symétrie

IV- Synthèse

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

5-7/ Exercice 7

 


I- Le rectangle

 

1-1/ Définition

Le rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.

Exemple

Soit ABCD un rectangle.

Remarque importante

Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent au rectangle.

 

 

1-2/ Propriétés des diagonales

Propriété directe

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont même longueur.

Autrement dit :

Si ABCD est un rectangle, alors : AC=BD.

 

 

Propriété réciproque

Si les diagonales d'un parallélogramme ont même longueur, alors c'est un rectangle.

Autrement dit :

Si ABCD est un parallélogramme tel que AC=BD, alors c'est un rectangle.

 

 

1-3/ Axes et centre de symétrie

Les axes de symétrie d’un rectangle sont les médiatrices de ses côtés.

Le centre de symétrie d’un rectangle est son centre.

 

II- Le losange

 

2-1/ Définition

Le losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.

Exemple

Soit ABCD un losange.

On a : AB=BC ; BC=CD ; CD=DA ; DA=AB

Remarque importante

Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent au losange.

 

 

2-2/ Propriétés des diagonales

Propriété directe

Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

Autrement dit :

Si ABCD est un losange, alors : ACBD.

 

 

Propriété réciproque

Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c'est un losange.

Autrement dit :

Si ABCD est un parallélogramme tel que ACBD, alors c'est un losange.

 

 

2-3/ Axes et centre de symétrie

Les axes de symétrie d’un losange sont ses diagonales.

Le centre de symétrie d’un losange est son centre.

 

III- Le carré

 

3-1/ Définition

Le carré est un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur.

Exemple

Soit ABCD un carré.

Remarques importantes

Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent au carré.

Le carré est à la fois un rectangle et un losange.

 

 

3-2/ Propriétés des diagonales

Propriété directe

Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont la même longueur.

Autrement dit :

Si ABCD est un carré , alors : AC=BD et ACBD.

 

 

Propriété réciproque

Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires et ont même longueur, alors c'est un carré.

Autrement dit :

Si ABCD est un parallélogramme tel que AC=BD et ACBD, alors c'est un carré.

 

 

3-3/ Axes et centre de symétrie

Les axes de symétrie d’une carré sont ses diagonales et les médiatrices de ses cotés.

Le centre de symétrie d’un carré est son centre.

 

IV- Synthèse

 

 

V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

IJKL est un rectangle de centre O tel que JLK^=40° et OJ=2,2cm.

  1. Citer tous les triangles isocèles de la figure.
  1. Citer tous les triangles rectangles de la figure.
  1. Calculer les mesures suivantes :

OL ; IK ; OKL^ ; OLI^ ; LIO^ ; IJL^

 

 

5-2/ Exercice 2

  1. Construire le point D le symétrique de A par rapport à I sur la figure.
  1. Prouver que ABDC est un parallélogramme, puis déduire sa nature
  1. Construire les points F et G les symétriques respectifs de B et C par rapport à A.
  1. Prouver que le quadrilatère FCBG est un losange.

 

 

5-3/ Exercice 3

ABC est un triangle isocèle en A.

M est le milieu de BC.

Le point D est le symétrique du point A par rapport au point M.

  1. Construire la figure.
  1. Montrer que ABDC est un losange.

 

 

5-4/ Exercice 4

ABCD est un carré de centre O.

  1. Construire la figure.
  1. Montrer que le triangle AOB est un triangle rectangle.
  1. Montrer que AC=BD.

 

 

5-5/ Exercice 5

ABCD est un carré de centre O.

Soient M et N les milieux respectifs des segments AB et BC.

  1. Construire E le symétrique de O par rapport à M.
  1. Construire F le symétrique de O par rapport â N.
  1. Montrer que AEBO est un carré.
  1. Démontrer que OEF est un triangle isocèle.

 

 

5-6/ Exercice 6

ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes :

En utilisant les données de la figure, Hicham prétend que « ABEF est rectangle ».

  1. Qu'en pensez-vous ? Justifier.

 

 

5-7/ Exercice 7

Dans la figure ci-dessous, KEPI et LORD sont deux parallélogrammes :

Les côtés [LD] et [EP] se coupent en A.

  1. En utilisant les données de la figure, déterminer la mesure de LAE^ (justifier).