Séance 3-4 : Dérivation et étude des fonctions - Problème de synthèse

Sommaire

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

9-2/ Partie 2

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=-x+\sqrt{x^2+1} si x\ge 0\\ f\left(x\right)=\frac{4}{\mathrm{\pi }}Arc\tan \left(-x+\sqrt{x^2+1}\right) si x<0\end{array}\right.$

1. Étudier la continuité de $f$ en $0$.

2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.

3. Montrer que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$ : $f\text{'}\left(x\right)<0$.

4. Dresser le tableau de variation de $f$. On déterminera les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.

5. Tracer la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé (Unité : $2cm$).

On pose $I=\left[\frac{1}{4};1\right]$.

6. Montrer que $f\left(I\right)\subset I$.

IX- Problème de synthèse

9-2/ Partie 2

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que pour tout $x\in I$ : $\left|f\text{'}\left(x\right)\right|\le \frac{4}{5}$

2. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ :

$\left|u_{n+1}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|\le \frac{4}{5}\left|u_n-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|$

3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente, et donner sa limite.

4. Montrer que : $\left(\forall x\in ]0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\right) ; f\left(\frac{1}{\tan x}\right)=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$

On pose pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $a_n=\frac{2^{n+1}+{\left(-1\right)}^n}{3}$

5. Vérifier que $a_0=1$, et que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $a_{n+1}=2^{n+1}-a_n$

6. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n=\tan \left(\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\mathrm{n}}}{2^{n+2}}\right)$