Télécharger Diaporama Vidéo

 

 

Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 3-3-2 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 3 (Exercices)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

8-2/ Exercice 3-2

8-3/ Exercice 3-3

8-4/ Exercice 3-4

 

 

8-1/ Exercice 3-1

On considère la fonction f tel que f(x)=2x-(x+1)23.

  1. Déterminer Df, le domaine de définition de f, et calculer limx→+∞f(x).
  1. Étudier l'asymptote de la courbe Cf au voisinage de +∞.

Soit g le prolongement de f à droite de -1.

  1. Étudier la dérivabilité de la fonction g à droite de -1.
  1. Calculer f'(x), et donner le tableau de variations de f.
  1. Montrer que Cf coupe l'axe des abscisses en à point d'abscisse α∈]4;5[ (On prend 223<2).
  1. Tracer Cf.

 

 

8-2/ Exercice 3-2

Partie I

On considère la fonction f définie sur I=[0;π2] par :

(∀x∈[0;π2[) ; f(x)=Arctan(√tanx) et f(π2)=π2

  1. Montrer que f est continue sur I.
  1. Étudier la dérivabilité de f à droite de 0.
  1. Montrer que f est strictement croissante sur I, et donner le tableau de variations de f.
  1. Montrer que Cf a un point de symétrie Ω(π4,π4).
  1. Résoudre dans I l'équation (E):f(x)=x, et étudier le signe de f(x)-x.
  1. Tracer Cf dans un un repère orthonormé (O,→i,→j) (Unité : 2cm).
Partie II

On considère la suite (un)n∈ℕ définie par :

{u0∈I(∀n∈ℕ) ; un+1=f(un)

  1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (un)n∈ℕ soit constante.

On suppose que u0∉{0;π4;π2}.

  1. Montrer que la suite (un)n∈ℕ est convergente et calculer sa limite.

 

 

8-3/ Exercice 3-3

On considère la fonction f définie sur [-1;+∞[ par :

{f(x)=Arctan√x+1√x+1 ; x>-1f(-1)=1

  1. Montrer que la fonctio f est continue à droite du point x0=-1.
  1. Calculer limx→+∞f(x) et interpréter géométriquement le résultat.

Soit X∈]0;+∞[, on pose φ(t)=t3(ArctanX-X)-X3(Arctant-t).

  1. Montrer que φ est dérivable sur l'intervalle ]0;X[ et calculer la dérivée φ'(t).
  1. Montrer que (∃c∈]0,X[) ArctanX-XX3=-13(1+c2).
  1. Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite du point x0=-1.
  1. Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que :

(∀X∈ℝ+) X1+X2≤ArctanX≤X

  1. Montrer que :

(∀x∈]1;+∞[) f'(x)=12√(x+1)3(√x+1x+2-Arctan√x+1)

  1. Conclure que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [1;+∞[.
  1. Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique α, et que α∈]0;1[.
  1. Tracer Cf. (On prend α≃0,7)

On considère la fonction g définie sur ℝ+ par :

g(x)=x1+x2-Arctanx

  1. Calculer g'(x) et donner le tableau de variations de g.
  1. Conclure que (∀X∈ℝ+) |g(x)|≤π2.
  1. Montrer que (∀X∈]0;1[) |f'(x)|≤π4.

On considère la suite numérique (un)n définie par :

{u0=12un+1=f(un)

  1. Montrer que (∀n∈ℕ) 0<un<1.
  1. Montrer que (∀n∈ℕ) |un+1-α|≤π4|un-α|.
  1. Montrer que (un)n est convergente et calculer sa limite.

 

 

8-4/ Exercice 3-4

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction f ainsi que les intervalles où elle est définie :

1 f(x)=x2+√x+3√x2 f(x)=1x2+3x33 f(x)=x√x2+14 f(x)=1x2(1x-1)3 5 f(x)=x3√x2-16 f(x)=sinx.cos3x7 f(x)=x21+x68 f(x)=sinx.cos2x

 

Retour