Séance 3-3-1 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 3 (Cours)

Sommaire

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-1/ Monotonie d'une fonction numérique

6-2/ Axe de symétrie - Centre de symétrie

6-3/ Les fonctions périodiques

6-4/ Étude de la concavité d'une courbe

6-5/ Étude des branches infinies (Rappel)

VII- Les fonctions primitives

7-1/ Primitive d’une fonction sur un intervalle

7-2/ Primitives d'une fonction continue

7-3/ Opérations sur les primitives

7-4/ Tableau des primitives usuelles

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-1/ Monotonie d'une fonction numérique

Proposition 10

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$.

• La fonction $f$ est constante sur $I$ si, et seulement, si : $\left(\forall x\in I\right), f\text{'}\left(x\right)=0$
• La fonction $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement, si : $\left(\forall x\in I\right), f\text{'}\left(x\right)\ge 0$
• La fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement, si : $\left(\forall x\in I\right), f\text{'}\left(x\right)\le 0$

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-1/ Monotonie d'une fonction numérique

Remarques

Les résultats de la proposition 10 ne sont valables que sur un intervalle.

Si $f\text{'}$ est positive sur $I$ et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Si $f\text{'}$ est négative sur $I$ et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, alors la fonction $f$ est
strictement décroissante sur $I$.

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-2/ Axe de symétrie - Centre de symétrie

Proposition 11

Soit $f$ une fonction numérique et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour que la droite $\Delta$ d'équation $x=a$ soit un axe de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que pour tout $x\in D_f$ : $\left(2a-x\right)\in D_f$ et $f\left(2a-x\right)=f\left(x\right)$.

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-2/ Axe de symétrie - Centre de symétrie

Proposition 12

Soit $f$ une fonction numérique et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère donné.

Pour que le point $\Omega \left(a,b\right)$ soit un centre de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que pour tout $x\in D_f$ : $\left(2a-x\right)\in D_f$ et $f\left(2a-x\right)+f\left(x\right)=2b$

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-2/ Axe de symétrie - Centre de symétrie

Remarques

Si $f$ est une fonction paire, alors sa courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Si $f$ est une fonction impaire, alors ${\mathcal{C}}_f$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Si la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme axe de symétrie ou admet le point de coordonnées $\left(a,b\right)$ comme centre de symétrie alors on peut restreindre l'étude de la fonction $f$ sur l'ensemble $D_{étude}=D_f\cap [a,+\infty [$.

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-3/ Les fonctions périodiques

Définition 5

Soit $f$ une fonction numérique de domaine de définition $D_f$.

On dit que $f$ est périodique s'il existe un réel non nul $T$ tel que pour tout $x\in D_f$ :

$\left(x+T\right)\in D_f$ et $\left(x-T\right)\in D_f$ et $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

Le nombre réel $T$ est appelé alors une période de $f$.

La plus petite période strictement positive de la fonction $f$ est appelée la période de la fonction $f$.

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-3/ Les fonctions périodiques

Proposition 13

Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, le nombre $nT$ est aussi une période de la fonction $f$.

La courbe de ${\mathcal{C}}_f$ est invariante par toute translation de vecteur $nT.\overrightarrow{i}$ avec $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Si $x_0\in \mathrm{ℝ}$ est un réel donné, la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est la réunion des images de l’ensemble $\left\{M\left(x,f\left(x\right)\right)/x\in D_f\cap [x_0,x_0+T[\right\}$ par toutes les translations de vecteur $nT.\overrightarrow{i}$ avec $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ainsi, pour étudier une fonction périodique de période $T$, il suffit de l’étudier sur un intervalle de $\mathrm{ℝ}$ de longueur $T$. (Très souvent, on choisit un des deux intervalles $[0,T[$ ou $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}[$).

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-4/ Étude de la concavité d'une courbe

Proposition 14

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

Pour que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ soit convexe sur $I$, il faut et il suffit que : $\left(\forall x\in I\right) , f"\left(x\right)\ge 0$

Pour que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ soit concave sur $I$, il faut et il suffit que : $\left(\forall x\in I\right) , f"\left(x\right)\le 0$

Pour que le point $M_0(x_0,f(x_0\left)\right)$ soit un point d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que la dérivée seconde  s'annule en $x_0$ et change de signe de part et d’autre de $x_0$.

VI- Étude des fonctions numériques (Rappels)

6-5/ Étude des branches infinies (Rappel)

VII- Les fonctions primitives

7-1/ Primitive d’une fonction sur un intervalle

Définition 7

Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$.

On dit que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si :

$F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$

VII- Les fonctions primitives

7-1/ Primitive d’une fonction sur un intervalle

Proposition 15

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive définie sur cet intervalle.

VII- Les fonctions primitives

7-2/ Primitives d'une fonction continue

Proposition 16

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$.

Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto F\left(x\right)+c$ où $c$ est une constante réelle.

Pour tout $x_0\in I$ et $y_0\in \mathrm{ℝ}$, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ vérifiant : $G\left(x_0\right)=y_0$.

VII- Les fonctions primitives

7-3/ Opérations sur les primitives

Proposition 17

Si $F$ et $G$ sont respectivement des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors :

$F+G$ est une primitive de la fonction $f+g$ sur $I$.

Pour tout $\left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ , $\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$ sur $I$.

VII- Les fonctions primitives

7-4/ Tableau des primitives usuelles