Séance 19 - Droite graduée et repérage dans le plan

Sommaire

I- Repérage sur une droite graduée

1-1/ Droite graduée

1-2/ Abscisse d’un point sur une droite graduée

1-3/ La distance entre deux points

II- Repère dans le plan et les coordonnées d’un point

2-1/ Définition

2-2/ Coordonnées d’un point

2-3/ Exemple

2-4/ Remarque

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

I- Repérage sur une droite graduée

1-1/ Droite graduée

Définition

Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :

• Un point appelé origine de la droite graduée.
• Un sens.
• Une unité de graduation.

I- Repérage sur une droite graduée

1-1/ Droite graduée

Exemple

On considère la droite graduée suivante :

• L’origine de la droite : c’est le point O.
• Le sens : de O vers I.
• L’unité de graduation : c’est OI.

I- Repérage sur une droite graduée

1-2/ Abscisse d’un point sur une droite graduée

Définition

Chaque point d’une droite graduée est repéré par un nombre relatif appelé abscisse du point $M$, noté $x_M$

Remarques

Si l’unité de graduation est $OI$, alors : $x_O=0$ et $x_I=1$

Les nombres positifs se trouvent à droite de zéro et les nombres négatifs à gauche de zéro.

I- Repérage sur une droite graduée

1-2/ Abscisse d’un point sur une droite graduée

Exemple

On considère la droite graduée ci-dessous avec l’unité de longueur $\left[OI\right]$ :

Le point $O$ est appelé l’origine de la droite graduée tel que son abscisse est le nombre $0$. On écrit $O\left(0\right)$ ou $x_O=0$.

L’abscisse du point $A$ est le nombre $4$. On écrit $A\left(4\right)$ ou $x_A=4$.

L’abscisse du point $B$ est le nombre $-3$. On écrit $B(-3)$ ou $x_B=-3$.

I- Repérage sur une droite graduée

1-3/ La distance entre deux points

Définition

Sur une droite graduée, la distance de deux points d’abscisses données est égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.

I- Repérage sur une droite graduée

1-3/ La distance entre deux points

Exemple

Soient $A\left(2\right)$ et $B(-1,5)$ deux points d’une droite graduée.

La distance entre $A$ et $B$ est :

$$\begin{gathered} AB=2-\left(-1,5\right) \\ AB=2+1,5 \\ AB=3,5 \end{gathered}$$

II- Repère dans le plan et les coordonnées d’un point

2-1/ Définition

Un repère du plan est constitué de deux droites graduées (ou axes) de même origine $O$.

$O$ est l'origine du repère.

II- Repère dans le plan et les coordonnées d’un point

2-2/ Coordonnées d’un point

Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres relatifs appelés les coordonnées de ce point.

Le premier nombre, lu sur l'axe horizontal, est l'abscisse et le second nombre, lu sur l'axe vertical, est l'ordonnée.

II- Repère dans le plan et les coordonnées d’un point

2-3/ Exemple

$(O;I;J)$ est appelé un repère orthogonal.

$O$ est l’origine du repère, ses coordonnées sont $(0;0)$.

$\left(OI\right)$ est appelé l’axe des abscisses.

$\left(OJ\right)$ est appelé l’axe des ordonnées.

Le couple (abscisse;ordonnée) s’appelle les coordonnées du point

• Les coordonnées du point $A$ sont : $A(3;2)$
• Les coordonnées du point $B$ sont : $B(-4;2)$
• Les coordonnées du point $C$ sont : $C(2;0)$
• Les coordonnées du point $D$ sont : $D(0;-3)$
• Les coordonnées du point $I$ sont : $I(1;1)$

II- Repère dans le plan et les coordonnées d’un point

2-4/ Remarque

Si $OI=OJ$, alors on dit que $(O;I;J)$ est un repère orthogonal orthonormé.

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

1. Placer sur une droite graduée d’origine $O$ les points suivants : $A(-0,5)$ et $B(3,5)$ et $C(2,5)$ et $D(-4,5)$.

2. Déterminer l’abscisse du point $M$ le milieu du segment $\left[AB\right]$ et l’abscisse du point $N$ le milieu du segment $\left[CD\right]$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

1. Placer sur une droite graduée d’origine $O$ et unité de longueur $OI=1cm$ les points suivants : $A(-5)$ et $B(0,5)$ et $C(-2,5)$ et $D\left(3\right)$.

2. Calculer les distances suivantes : $AB$ et $AC$ et $AD$ et $BC$ et $BD$ et $CD$.

3. Déterminer l’abscisse du point $M$ le milieu du segment $\left[AB\right]$, l’abscisse du point $N$ le milieu du segment $\left[BC\right]$ et $P$ le milieu du segment $\left[CD\right]$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

On considère les points $M$, $N$, $P$, $A(-3)$ et $B\left(4\right)$ des points d’une droite graduée d’unité de longueur $OI$.

1. Déterminer l’abscisse du point $M$ sachant que $OM=5$.

2. Déterminer l’abscisse du point $N$ sachant que $O$ le milieu du segment $\left[AN\right]$.

3. Déterminer l’abscisse du point $P$ sachant que $A$ le milieu du segment $\left[BP\right]$.

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Soit le repère suivant :

1. Quelles sont les coordonnées des points $A, B, C, D, E, F, H, I$ et $J$ ?

2. Placer les points $M(3;1,5)$, $N(-3;2)$, $P(-1,5;-2)$, $Q(3;-2)$, $R(3;0)$, $S(-3 ;0)$, $T(0;1,5)$ et $U(0;-2)$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

1. Lire les coordonnées de chacun des points $A, B, C, D, E$ et $F$.

Un point $G$ a la même abscisse que $B$ et la même ordonnée que $E$.

2. Quelles sont les coordonnées de ce point ?

$A\text{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine $O$ du repère.

3. Quelles sont les coordonnées de $A\text{'}$ ?

$B\text{'}$ est le symétrique de $B$ par rapport à l'origine $O$ du repère.

4. Quelles sont les coordonnées de $B\text{'}$ ?