Math TC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 (5,5 pts)

1. Déterminer parmi les nombres suivants : les nombres pairs, les nombres impairs et les nombres qui n’appartiennent pas à $\mathrm{\mathbb{N}}$ :

$2 ; \sqrt{16} ; 2\times \frac{3}{5} ; 12 ; 89509 ; 310 ; 11 ; 17848$

2. Est-ce que le nombre $800001$ est premier ?

3. Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, déterminer la parité des nombres suivants : $2n+5 ; 4n^2+4n+6$

4. Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, monter que le nombre $10n+5$ n’est pas premier.

5. Montrer que le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est un nombre pair.

Soit $n$ un nombre premier tel que $n>2$.

6. Montrer que $8$ divise $n^2-1$, puis déduire que $n^4-1$ est un multiple de $16$.

II- Exercice 2 (3 pts)

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels tels que $a=2^2\times 3^3\times 7$ et $b=360$.

1. Décomposer le nombre $b$ en produit de facteurs premiers, puis déduire le $PGCD\left(a;b\right)$ et $PPCM\left(a;b\right)$.

2. Simplifier $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ et $\frac{a}{b}$.

3. Décomposer les nombres $ab$ et $a+b$ en produit de facteurs premiers.

III- Exercice 3 (2 pts)

Soit $n$ un entier naturel.

1. Montrer que $\frac{n+13}{n+2}=1+\frac{11}{n+2}$.

2. Déterminer les diviseurs de $11$.

3. Déterminer tous les entiers naturels $n$ qui vérifient $\frac{n+13}{n+2}\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

IV- Exercice 4 (2,5 pts)

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a=5^{n+2}-5^n$ et $b=7\times 5^n+5^{n+1}$.

1. Montrer que $a$ est un multiple de $3$.

2. Montrer que $b$ est un multiple de $12$.

3. Calculer $PGCD\left(a;b\right)$.

V- Exercice 5 (4 pts)

$ABCD$ est un parallélogramme.

$E$ et $F$ deux points du plan tels que $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.

1. Construire une figure.

2. Montrer que $\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$.

3. Montrer que $\overrightarrow{CF}+2\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{0}$.

4. En déduire que les points $E$, $F$ et $C$ sont alignés.

VI- Exercice 6 (3 pts)

$ABC$ est un triangle.

$I$ et $J$ deux points du plan tels que $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
 
$J$ est le projeté du point $I$ sur $\left(BC\right)$ parallèlement à $\left(AC\right)$, et $Q$ le projeté du point $J$ sur $\left(AC\right)$ parallèlement à $\left(AB\right)$.

1. Construire une figure.

2. Montrer que $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$.

3. Montrer que $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{QC}$.