Séance 20 - Cercle

Sommaire

I- Le cercle

1-1/ Définition

1-2/ Exemple

1-3/ Corde, diamètre et arc

1-4/ Propriété

II- La tangente à un cercle en un point

2-1/ Exemple

2-2/ Définition

2-3/ Propriété

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

I- Le cercle

1-1/ Définition

Le cercle $\left(C\right)$ de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points du plan situés à la distance $r$ du point $O$.

Il est noté : $C(O;r)$

I- Le cercle

1-2/ Exemple

Soit $C(O;3)$ un cercle :

I- Le cercle

1-3/ Corde, diamètre et arc

On considère la figure suivante telle que $C(O;r)$ un cercle :

Le segment $\left[EF\right]$ s’appelle : Corde.

Le segment $\left[AB\right]$ s’appelle : Diamètre.

La partie colorée en rouge s’appelle : Arc. Noté : $EF$.

Remarques

Tout diamètre est une corde.

Toute corde passant par le centre du cercle est un diamètre.

Le centre du cercle est le milieu de ses diamètres.

I- Le cercle

1-4/ Propriété

Soit $C(O;r)$ un cercle et $A$ un point.

Si $A\in \left(C\right)$ alors $OA=r$

Si $OA=r$ alors $A\in \left(C\right)$

Exemple

II- La tangente à un cercle en un point

2-1/ Exemple

On considère la figure suivante telle que $C(O;r)$ est un cercle, $A$ un point du cercle $\left(C\right)$ et $\left(D\right)$ la droite perpendiculaire à la droite $\left(OA\right)$ en $A$.

La droite (D) est appelée : Tangente au cercle $\left(C\right)$ en $A$.

II- La tangente à un cercle en un point

2-2/ Définition

La tangente à un cercle $\left(C\right)$ de centre $O$ en un point $A$ du cercle, est la droite perpendiculaire à la droite $\left(OA\right)$ en $A$.

Exemple

II- La tangente à un cercle en un point

2-3/ Propriété

Soient $C(O;r)$ un cercle, $E$ un point et $\left(\Delta \right)$ une droite.

Si $\left\{\begin{array}{l}E\in \left(C\right) et E\in \left(\Delta \right)\\ \left(OE\right)\perp \left(\Delta \right)\end{array}\right.$, alors $\left(\Delta \right)$ est la tangente au cercle $\left(C\right)$ en $E$.

Si $\left(\Delta \right)$ est la tangente au cercle $\left(C\right)$ en $E$, alors $\left\{\begin{array}{l}E\in \left(C\right) et E\in \left(\Delta \right)\\ \left(OE\right)\perp \left(\Delta \right)\end{array}\right.$.

Exemple

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Compléter les phrases suivantes en utilisant les mots :

cercle - corde - rayon - centre - diamètre - milieu

Le _______________ $\left({\mathcal{C}}_1\right)$ de _______________ $E$ passe par les points $A, B, C, D$ et $F$.

Le segment $\left[EF\right]$ est un _______________ de ce cercle.

Le segment $\left[AC\right]$ est une _______________ de ce cercle.

$E$ est le _______________ du _______________ $\left[AD\right]$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Soit le cercle suivant :

1. Comment s’appelle le segment $\left[HG\right]$ ?

2. Comment s'appelle le segment $\left[DE\right]$ ?

3. Comment s'appelle la partie du cercle tracée en pointillés ?

4. Comment s'appelle le point $D$ ?

5. Comment s'appelle le segment $\left[CF\right]$ ?

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Les deux questions suivantes sont indépendantes.

1. Tracer un cercle de centre $P$ et de rayon $3,5cm$, Tracer un diamètre $\left[EF\right]$ de ce cercle. Quelle est sa longueur ? Placer un point $G$ quelconque du cercle. Que peux-tu dire de $PG$, $PE$ et $PF$ ? Justifier la réponse.

2. Tracer un segment $\left[OU\right]$ de longueur $5cm$. Tracer le cercle de diamètre $\left[OU\right]$. Quelle est la mesure du rayon de ce cercle ?

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Si les droites $\left(BD\right)$ et $\left(CD\right)$ sont deux tangentes au cercle de centre $A$, déterminer la mesure de $\widehat{BDC}$. Expliquer le raisonnement.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ un cercle de diamètre $\left[AB\right]$.

1. Tracer $\left(\Delta \right)$ et $\left(d\right)$ les tangentes au cercle $\left(\mathcal{C}\right)$ respectivement en $A$ et $B$.

2. Démontrer que les droites $\left(\Delta \right)$ et $\left(d\right)$ sont parallèles.