Séance 4 - La projection dans le plan

Sommaire

I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

1-1/ Vocabulaire

1-2/ Définition

1-3/ Cas particulier

II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

2-1/ Théorème de Thalès direct

2-2/ Théorème de Thalès réciproque

III- Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

1-1/ Vocabulaire

Le point $M\text{'}$ est appelé projection du point $M$ sur $\left(D\right)$ parallèlement à la droite $\left(\Delta \right)$.

La droite $\left(\Delta \right)$ est appelée la direction de la projection .

Le point $M_1$ est appelé projection du point $M$ sur $\left(\Delta \right)$ parallèlement à la droite $\left(D\right)$.

I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

1-2/ Définition

$\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ sont deux droites sécantes en $O$.

$M$ est un point du plan $\left(P\right)$.

La droite qui passe par le point $M$ et parallèle à la droite $\left(\Delta \right)$ coupe la droite $\left(D\right)$ en un point $M\text{'}$ qui est appelé la projection du point $M$ sur $\left(D\right)$ parallèlement à la droite $\left(\Delta \right)$.

I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

1-3/ Cas particulier

Si $\left(D\right)\perp \left(\Delta \right)$, le point $M\text{'}$ est appelé la projection orthogonale de $M$ sur la droite $\left(D\right)$.

La relation p est appelé la projection orthogonale dans le plan $\left(P\right)$.

Si $\left(D\right)$ n'est pas perpendiculaire à $\left(\Delta \right)$, La relation p est appelé projection oblique ou simplement projection.

II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

2-1/ Théorème de Thalès direct

Énoncé du théorème

$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont deux droites sécantes en $O$.
 
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de $\left(D_1\right)$.

Soient $A\text{'}$ et $B\text{'}$ deux points distincts de $\left(D_2\right)$ tel que $\left(AA\text{'}\right)\parallel \left(BB\text{'}\right)$

On a :

$\frac{OB}{OA}=\frac{OB\text{'}}{OA\text{'}}=\frac{BB\text{'}}{AA\text{'}}$

II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

2-1/ Théorème de Thalès direct

Théorème direct de Thalès exprimé en utilisant la projection

$\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ sont deux droites sécantes à une troisième droite.

$A$ et $B$ et $C$ sont trois points distincts alignés tel que $\left(AB\right)$ n'est pas parallèle à $\left(\Delta \right)$.

$A\text{'}$ et $B\text{'}$ et $C\text{'}$ sont leurs projections respectivement sur $\left(D\right)$ parallèlement à $\left(\Delta \right)$.

On a : $\overline{) \frac{AC}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{A\text{'}B\text{'}} }$

II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

2-2/ Théorème de Thalès réciproque

Énoncé du théorème

$\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ sont deux droites sécantes en $A$.

$A$ et $B$ et $C$ sont trois points de $\left(D\right)$.

$A\text{'}$ et $B\text{'}$ et $C\text{'}$ sont trois points de $\left(\Delta \right)$ dans le même ordre que $A$ et $B$ et $C$.

Si $\frac{AC}{AB}=\frac{AC\text{'}}{AB\text{'}}$ alors $\left(BB\text{'}\right)\parallel \left(CC\text{'}\right)$.

III- Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs

$\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ sont deux droites sécantes  et $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$  ( le nombre $k$ s’appelle le coefficient de colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ )

si  $A\text{'}$ et $B\text{'}$ et $C\text{'}$ et $D\text{'}$  sont les projetés  respectfs des points A, B, C, et D  sur $\left(D\right)$ parallèlement à $\left(\Delta \right)$.

Alors  on a   $\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}=k\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}$,        on dit la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

$ABC$ est un triangle et $I$ est le milieu de $\left[BC\right]$.
 
Soit $D$ un point vérifiant $\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AI}$.

$E$ est le projeté de $D$ sur $\left(BC\right)$ parallèlement à $\left(AB\right)$, et $F$ est le projeté de $D$ sur $\left(BC\right)$ parallèlement à $\left(AC\right)$.

1. Construire une figure.

2. Montrer que $\overrightarrow{BE}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{CF}=\frac{3}{5}\overrightarrow{CI}$.

3. En déduire que $I$ est le milieu de $\left[EF\right]$.

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle et soient $D$ un point de la droite $\left(BC\right) \left(D\notin \left[BC\right]\right)$, et $O$ un point du plan tel que $\overrightarrow{AO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$.

Soient $E$ et $F$ deux points du plan tels que :

$E$ est le projeté du point $D$ sur la droite $\left(AC\right)$ parallèlement à la droite $\left(OC\right)$.

$F$ est le projeté du point $D$ sur la droite $\left(AB\right)$ parallèlement à la droite $\left(OB\right)$.

1. Montrer que $\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

2. Montrer que $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AF}$.

3. Montrer que $\left(EF\right)\parallel \left(BC\right)$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

$ABCD$ un parallélogramme et $E$ un point tel que $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

$F$ est le projeté du point $E$ sur $\left(BC\right)$ parallèlement à $\left(AB\right)$.

1. Montrer que $\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$.

2. Montrer que $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

Soit M un point tel que $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

3. Montrer que $\left(ME\right)\parallel \left(BC\right)$.

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

$ABC$ est un triangle.

Soient $E$ et $F$ deux points du plan tels que: $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

On considère $E\text{'}$ et $F\text{'}$ les projetés respectifs de $E$ et $F$ sur la droite $\left(AC\right)$ parallèlement à $\left(BC\right)$.

1. Construire une figure convenable.

2. Écrire les vecteurs $\overrightarrow{AE\text{'}}$ et $\overrightarrow{AF\text{'}}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$.

3. En déduire que $\overrightarrow{EE\text{'}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{FF\text{'}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

4. Conclure que $\frac{EE\text{'}}{FF\text{'}}=\frac{2}{3}$.