Séance 2 - Arithmétique dans IN

Sommaire

I- Nombres pairs – Nombres impairs

1-1/ Définition

1-2/ Remarques

II- Critères de divisibilité

III- Nombres premiers

3-1/ Nombres premiers

3-2/ Test de primalité

IV- Décomposition en facteurs premiers

4-1/ Définition

4-2/ Théorème

V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

5-1/ Définition

5-2/ Théorème

5-3/ Entiers premiers entre eux

VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

6-1/ Définition

6-2/ Théorème

6-3/ Remarques

VII- Division euclidienne dans $\mathrm{\mathbb{N}}$

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

I- Nombres pairs – Nombres impairs

1-1/ Définition

Soit $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

Si $n$ est divisible par 2, c’est un nombre pair.

Si non $n$ est impair.

Exemple

I- Nombres pairs – Nombres impairs

1-2/ Remarques

$n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $n$ est pair équivaut qu’il existe $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ tel que $n=2k$.

$n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $n$ est impair équivaut qu’il existe $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ tel que $n=2k+1$.

0 (zéro) est un nombre pair (car 2 divise 0).

1 (un) est un nombre impair.

II- Critères de divisibilité

Un nombre naturel est divisible par :

• 2 si le chiffre d’unité est pair.
• 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
• 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres (chiffres d’unité et de dizaine) est divisible par 4.
• 5 si le chiffre d’unité est 0 ou 5.
• 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres (chiffres d’ unité et de dizaine et de centaine) est divisible par 8.
• 9 si la somme des chiffres est divisible par 9.

Exemples

III- Nombres premiers

3-1/ Nombres premiers

Un entier naturel $p\ge 2$ est dit premier, si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et lui même (ou encore a juste deux diviseurs positifs).

Un entier naturel différent de 1 qui n’est pas premier est appelé nombre composé.

Exemple

III- Nombres premiers

3-2/ Test de primalité 

Pour étudier la primalité d’un nombre entier naturel n ; on cherche tous les nombres premiers p qui vérifient $p\le \sqrt{n}$. Si n est divisible par l’un de ces nombres alors  n n’est pas un nombre premier sinon n  est premier.

exemple : 

.

IV- Décomposition en facteurs premiers

4-1/ Définition

$a\in \mathrm{\mathbb{N}}*\backslash \left\{1\right\}$

a s’écrit sous la forme d’un produit de plusieurs facteurs des nombres premiers qu’on appelle décomposition en facteurs premiers du nombre a.

Exemple

IV- Décomposition en facteurs premiers

4-2/ Théorème

$a\in \mathrm{\mathbb{N}}*\backslash \left\{1\right\}$

${\alpha }_1,{\alpha }_2,....{\alpha }_n$ sont des nombres entiers non nuls.

Il existe des nombres premiers distincts deux à deux $p_1,p_2,....p_n$ tel que $a$ se décompose de façon unique sous la forme : $a={p_1}^{{\alpha }_1}\times {p_2}^{{\alpha }_2}\times ....\times x^{{\alpha }_n}$.

Exemple

V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

5-1/ Définition

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le plus grand commun diviseur de a et b est noté par $pgcd(a,b)$ ou $a\wedge b$.

Exemple

V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

5-2/ Théorème

pgcd(a,b)[ Le plus grand commun diviseur de a et b supérieurs ou égaux à 2 ] est le produit des facteurs premiers communs à a et b munis du plus petit des exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de a et b.

Exemple

V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

5-3 Entiers premiers entre eux

Deux entiers a et b sont premiers entre eux (ou étranger ) si $a\wedge b=1$ (pgcd(a,b)=1)

Exemple

VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

6-1/ Définition

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le plus petit commun multiple de a et b est noté par $ppcm(a,b)$ ou $a\vee b$.

Exemple

VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

6-2/ Théorème

ppcm(a,b) [ Le plus petit commun multiple de a et b supérieurs ou égaux à 2 ] est le produit de tous les facteurs premiers communs et non communs de a et b munis du plus grand des exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de a et b.

Exemple

VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

6-3/ Remarques

pgcd(a,b)=pgcd(b,a)

pgcd(1,a)=1

pgcd(a,a)=a

ppcm(a,b)=ppcm(b,a)

ppcm(1,a)=a

ppcm(a,a)=a

pgcd(a,b)*ppcm(a,b)=a*b

VII- Division euclidienne dans $\mathrm{\mathbb{N}}$

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels $\left(b>0\right)$.

Il existe un couple unique d’entiers naturels $(q,r)$ tels que $\left\{\begin{array}{l}a=bq+r\\ 0\le r<b\end{array}\right.$

• $q$ est appelé le quotient.
• $r$ le reste.
• $a$ est le dividende et $b$ le diviseur de la division euclidienne de $a$ par $b$.

Exemple

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

Soient a et b deux entiers naturels pairs.

1. Étudier la parité de $a+b, a\times b et a(a+1)$.

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

On pose $A=2a-3$ et $B=4a+2$.

2. Étudier la parité de A et B.

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

3. Étudier la parité de : 

 $$\begin{gathered} a=2^{n+1}+27 \\ b= 4n²+8n+13 \\ c=n²+5n+3 \\ d=n(n+1)(n²+5n+3) \end{gathered}$$ 

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

1. Déterminer a tel que 5a74 soit divisible par 3.

2. Déterminer les diviseurs de 12.

3. Déterminer les entiers naturiels $x$ et $y$ tel que $\left(x+3\right)\left(y+2\right)=12$

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

Parmi les nombres de la liste ci-dessous déterminer ceux qui sont des nombres premiers :

 101 -  239 – 387 – 700107

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

On pose a=156 et b=495

1- Décomposer a et b.

2- Déterminer le pgcd(a;b) et ppcm(a;b).

3- vérifier que $pgcd(a;b) \times ppcm(a;b)=a\times b$

IIX- Exercices

8-5/ Exercice 5

On considère le nombre $a=2^3\times 3^2\times 7$

1. Vérifier que a est divisible par 24.

2. Déterminer le plut petit nombre entier naturel $k$ tel que $ka$ est un carré parfait.

IIX- Exercices

8-6/ Exercice 6

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels.

1. Vérifier que si $n=5k+1$ et $n=5k+4$ alors $n^2-1$ est divisible par $5$.

2. Vérifier que si $n=5k+2$ et $n=5k+3$ alors $n^2+1$ est divisible par $5$.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}} : n\left(n^4-1\right)$ est divisible par $5$.