Séance 16 - Géométrie dans l’espace

Sommaire

I- Orthogonalité dans l’espace

1-1/ Définition

1-2/ Propriété

II- Parallélisme dans l’espace

2-1/ Définition

III- Théorème de Pythagore dans l’espace

IV- Agrandissement – Réduction

4-1/ Définition

4-2/ Propriété

4-3/ Remarques

V- Les volumes

5-1/ Cube

5-2/ Parallélépipède

5-3/ Pyramide

5-4/ Cylindre

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Orthogonalité dans l’espace

1-1/ Définition

Une droite $\left(D\right)$ est perpendiculaire à un plan $\left(P\right)$ en $A$, si elle est perpendiculaire à deux droites dans ce plan sécantes en $A$.

On écrit : $\left(D\right) \perp \left(P\right)$

Exemple

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

• Montrer que la droite $\left(AE\right)$ est perpendiculaire au plan $\left(EFGH\right)$.

I- Orthogonalité dans l’espace

1-2/ Propriété

Si une droite est perpendiculaire à un plan en $A$, alors elle est perpendiculaire à tous
droites incluse dans ce plan qui passent par $A$.

Exemple

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

• Montrer que le triangle $AEG$ est rectangle en $E$.

II- Parallélisme dans l’espace

2-1/ Définition

Une droite $\left(D\right)$ est parallèle à un plan $\left(P\right)$, si elle est parallèle à une droite dans
ce plan.

On écrit : $\left(D\right) // \left(P\right)$

Exemple

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

• Montrer que la droite $\left(AB\right)$ est parallèle au plan $\left(EFGH\right)$.

III- Théorème de Pythagore dans l’espace

Exemple

Soit $SABCD$ une pyramide de base carré $ABCD$ et de hauteur $\left(SA\right)$, tels que : $AB=4cm$ et $SA=6cm$.

1. Calculer AC

2. Calculer SC

IV- Agrandissement – Réduction

4-1/ Définition

En multipliant toutes les arêtes d’un solide par un même nombre positif non nul $k$, on
obtiendra un agrandissement ou une réduction de ce solide.

$k$ est appelé coefficient ou rapport d’agrandissement ou de réduction.

IV- Agrandissement – Réduction

4-2/ Propriété

Dans un agrandissement ou une réduction d’un solide de rapport $k$ :

• Les longueurs sont multipliées par $k$.
• Les aires sont multipliées par $k^2$.
• Les volumes sont multipliés par $k^3$.

IV- Agrandissement – Réduction

4-3/ Remarques

Si $k$ est le rapport d’agrandissement, alors $\frac{1}{k}$ est le rapport de réduction.

Si $k>1$, alors on a un agrandissement.

Si $0<k<1$, alors on a une réduction.

V- Les volumes

5-1/ Cube

$$\begin{gathered} Volume=a^3 \\ Aire total=6a^2 \end{gathered}$$

V- Les volumes

5-2/ Parallélépipède

$$\begin{gathered} Volume=L\times \mathcal{l}\times h \\ Aire total=2\left(L\times \mathcal{l}+L\times h+\mathcal{l}\times h\right) \end{gathered}$$

V- Les volumes

5-3/ Pyramide

$$\begin{gathered} Volume=\frac{1}{3}\times aire base\times hauteur \\ Aire total=aires latérales+aire base \end{gathered}$$

V- Les volumes

5-4/ Cylindre

$$\begin{gathered} Volume=\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2\times \mathrm{h} \\ Aire total=2\mathrm{\pi }\times \mathrm{r} ( \mathrm{r}+\mathrm{h} ) \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède tel que $AB=3$, $BC=4$ et $AE=5$.

1. Calculer $CH$ et $EG$

Soit $I$ le centre du rectangle $EFGH$.

2. Montrer que $\left(BF\right) \perp \left(EFG\right)$.

3. En déduire que $\left(BF\right) \perp \left(IF\right)$.

4. Calculer $IB$.

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Soit $SABCD$ une pyramide de base carré $ABCD$ et de hauteur $\left(SO\right)$ tel que $SO=5cm$, $AB=6cm$ et $A\prime B\prime =2cm$.

La pyramide $SA\prime B\prime C\prime D\prime$ est la réduction de la pyramide $SABCD$.

1. Calculer l’aire de la base $ABCD$.

2. Calculer le volume de la pyramide $SABCD$.

3. Calculer le coefficient de réduction.

4. En déduire le volume de la pyramide $SA\prime B\prime C\prime D\prime$.

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle tel que $AB=12cm$, $AD=9cm$ et $AE=9cm$.

1. Vérifier que $AC=15cm$.

2. Montrer que le volume de la pyramide $FABC$ est $V_1=162c{m}^3$.

La pyramide $F IJK$ est une réduction de rapport $\frac{1}{3}$ de la pyramide $FABC$.

3. Calculer le volume $V_2$ de la pyramide $F IJK$.

4. Calculer la distance $IK$.

5. Calculer l’aire de la base $IJK$.

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

On considère la pyramide $OABC$ de base le triangle $ABC$ et de hauteur $\left(OA\right)$ tel que $AB=5cm$, $BC=4cm$ et $AC=3cm$.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

2. En déduire que l’aire du triangle $ABC$ est $S=6c{m}^2$.

On suppose que le volume de la pyramide $OABC$ est $V=8c{m}^2$.

3. Vérifier que $OA=4cm$.

La pyramide $OA\prime B\prime C\prime$ de hauteur $(OA\prime )$ est un agrandissement de La pyramide $OABC$.

4. Sachant que $OA\prime =6cm$, vérifier que le rapport d’agrandissement est $k=\frac{3}{2}$.

5. En déduire le volume de la pyramide $OA\prime B\prime C\prime$.

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

$SABCD$ pyramide régulière de base carrée de centre $O$ telle que $AB=4cm$ :

$A$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ et $D\text{'}$ quatre points appartenant respectivement aux côtés $\left[AS\right]$, $\left[BS\right]$, $\left[CS\right]$ et $\left[DS\right]$ tels que la pyramide $SA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ est la réduction de la pyramide $SABCD$ et $A\text{'}B\text{'}=1,5cm$.

1. Calculer le coefficient de la réduction.

2. Sachant que $SO=5cm$, calculer le volume de la pyramide $SA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$.

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

$ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ est un pavé droit tel que $AB=5$, $BC=3$ et $AA\text{'}=4$.

$I$ est un point de $\left[AB\right]$ tel que $IB=2$ :

1. Montrer que $\left(DD\text{'}\right)\perp \left(ABC\right)$.

2. En déduire la nature du triangle $IDD\text{'}$.

3. Calculer $ID\text{'}$.