Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 2 Devoir 3 Modèle 1

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On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = (\frac{x - 1}{x}) \ln x$ .

Et soit $(C_{f})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Montre que $H : x \to \frac{1}{2} {(\ln x)}^{2}$ est une fonction primitive de la fonction $h : x \to \frac{\ln x}{x}$ .

En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_{1}^{e} \ln x d x = 1$ .

Vérifier que $f (x) = \ln x - \frac{\ln x}{x}$ pour tout $x$ de $] 0; + \infty [$ .

Montrer que l’aire de la partie délimité par $(C_{f})$ et l’axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ est égale à $0, 5 c m^{2}$

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x} + x \ln x$ .

Et soit $(C_{f})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Soit la fonction $F$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = - \frac{x^{2}}{4} + (\frac{x^{2}}{2} + 1) \ln x$

Montre que $F$ est une fonction primitive de la fonction $f$ sur $] 0; + \infty [$

Dans la figure suivante $(C_{f})$ est la courbe représentative de la fonction $f$ et $(Δ)$ est une droite d’équation $y = \frac{x}{2}$ .

Un sac contient 7 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges et 3 boules vertes.

On tire une boule « b » du sac et on note sa couleur.

Si b est rouge on la remet dans le sac puis on tire une deuxième boule.
Si b est verte on ne remet pas la boule dans le sac puis on tire une deuxième boule.

On considère les événements suivants :

A : « obtenir deux boules de même couleur dans les deux tirages »

B : « obtenir une boule rouge dans la deuxième tirage »

Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules vertes, 3 boules rouges et 2 blanches.

On tire simultanément au hasard trois boules du sac.

On considère les événements suivants :

A : « obtenir une boule verte au moins »
B : obtenir une boule verte et deux boules blanches »

Soit $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules rouges tirées.

Calculer $E (X)$ l’espérance mathématique et $V (X)$ la variance de la variable aléatoire $X$ .

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