Math 2Bac SPC-SVT-STE-STM - Examen National 2021 Session Rattrapage

Exercice 1 : Suites numériques (4 pts)

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_{n+1}=\frac{1+u_n}{3-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $0<u_n<1$

2)

1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{{\left(u_n-1\right)}^2}{3-u_n}$.

2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

3) On pose $v_n=\frac{1}{1-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.

2. Déterminer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que $u_n=\frac{n+1}{n+3}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

100. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

4. A partir de quelle valeur de $n$, a-t-on $u_n\ge \frac{1011}{1012}$ ?

Exercice 2 : Nombres complexes (5 pts)

1. Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ des nombres complexes l’équation $z^2-6z+13=0$.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a=3+2i$, $b=3-2i$ et $c=-1-2i$.

1. Écrire $\frac{c-b}{a-b}$ sous forme trigonométrique.

2. En déduire la nature du triangle $ABC$.

3) Soit $R$ la rotation de centre $B$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Soit $M$ un point du plan d’affixe $z$ et le point $M\text{'}$ d’affixe $z\text{'}$ l’image de $M$ par $R$, et soit $D$ le point d’affixe $d=-3-4i$.

1. Écrire $z\text{'}$ en fonction de $z$.

2. Vérifier que $C$ est l’image de $A$ par $R$.

4)

1. Montrer que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

2. Déterminer le rapport de l’homothétie $h$ de centre $C$ et qui transforme $A$ en $D$.

100. Déterminer l’affixe $m$ du point $E$ pour que le quadrilatère $BCDE$ soit un parallélogramme.

5)

1. Montrer que $\frac{d-a}{m-b}$ est un nombre réel.

2. En déduire que le quadrilatère $ABED$ est un trapèze isocèle.

Exercice 3 : Fonctions numériques (3 pts)

On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $h\left(x\right)=x+\ln x$

1. Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$.

2. Déterminer $h\left(]0;+\infty [\right)$.

3)

1. En déduire que l’équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.

2. Montrer que $0<\alpha <1$.

4)

1. Vérifier que $h\left(\frac{1}{\alpha }\right)=\alpha +\frac{1}{\alpha }$.

2. En déduire que $h\left(\frac{1}{\alpha }\right)>2$.

Problème : Étude de fonctions numériques et calcul intégral (8 pts)

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $f\left(x\right)=2-x{e}^{-x+1}$.

Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : $1cm$)

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et interpréter le résultat géométriquement.

2)

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=-\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.

3)

1. Montrer que pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$ : $f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{-x+1}$

2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

4)

1. Calculer $f"\left(x\right)$ pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$.

2. Montrer que la courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ admet un point d’inflexion d’abscisse $2$.

5. Construire la courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ dans  le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (On  prend $f\left(2\right)\simeq 1,25$).

6. Déterminer la valeur minimale de la fonction $f$ et en déduire que pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$ : $e^{x-1}\ge x$.

7)

1. En utilisant une intégration par parties, calculer ${\int }_0^{2}x{e}^{-x}dx$.

2. En déduire que ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4-e+3e^{-1}$.

8) Soit $g$ la restriction de $f$ à l’intervalle $]-\infty ;1]$.

1. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

2. Construire la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

100. A partir de la courbe représentative de $g^{-1}$, déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{g^{-1}\left(x\right)}{x}\right)$.