Math 2Bac Eco-SGC - Examen National 2021 Normale

Exercice 1 (5 pts)

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ la suite numérique définie par : $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n-\frac{1}{2}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

1) Calculer $u_1$ et $u_2$.

2) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n<-\frac{3}{4}$.

3)

a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}\left(u_n+\frac{3}{4}\right)$.

b) En déduire que ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ est une suite croissante.

4) Déduire de ce qui précède que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ est convergente.

5) On pose pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $v_n=u_n+\frac{3}{4}$.

a) Calculer $v_0$.

b) Montrer que $\left(v_n\right)$ est une de suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$.

c) Donner $v_n$ en fonction de $n$.

d) En déduire que pour tout tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n=-\frac{1}{4}\left[{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+3\right]$.

6) Calculer $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$.

Exercice 2 (5,5 pts)

On considère la fonction numérique $g$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $g\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}+\ln \left(x\right)$

1) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

2)

a) Montrer que : $\forall x>0 ; g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}$

b) Donner le signe de $g\text{'}\left(x\right)$ sur $]0;+\infty [$.

3)

a) Calculer $g\left(\frac{1}{e}\right)$ et $g\left(1\right)$ puis dresser le tableau de variations de $g$.

b) A partir du tableau de variations de $g$, donner le signe de $g\left(x\right)$ sur $]0;1]$ et sur $[1;+\infty [$.

c) A l’aide du tableau de variations, résoudre l’inéquation : $1+e^2+\ln x\ge \frac{1}{x^2}$

Exercice 3 (5,5 pts)

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2-\ln x$

1) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2)

a) Montrer que : $\forall x>0 ; f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(2\ln x-1\right)$

b) Montrer que $f\text{'}\left(x\right)\le 0$ sur $]0;\sqrt{e}]$ et $f\text{'}\left(x\right)\ge 0$ sur $[\sqrt{e};+\infty [$

c) Calculer $f\left(\sqrt{e}\right)$ et $f\left(e\right)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.

3) A partir du tableau de variations de $f$ :

a) Donner la valeur minimale de $f$ sur $]0;+\infty [$.

b) Déterminer l’image de l’intervalle $\left[\sqrt{e};e\right]$ par $f$.

Exercice 4 (4 pts)

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1) Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)A} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2}{x}+\frac{e^x}{e^x-1}\right) \\ \overline{)B} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x+\frac{e^x}{e^x-1}\right) \\ \overline{)C} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{e^x-1}{x^2}\right) \end{gathered}$$

2)

a) Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation suivante : $t^2+t-2=0$

b) En déduire dans $\mathrm{ℝ}$ les solutions de l’équation suivante : $e^{2x}+e^x-2=0$

3) Donner une primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $h\left(x\right)=e^x+\frac{2\ln x}{x}$