Math 2Bac SPC-SVT-STE-STM - Examen National 2021 Session Normale

Exercice 1 : Fonctions numériques (2 pts)

1)

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation $e^{2x}-4e^x+3=0$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’inéquation $e^{2x}-4e^x+3\le 0$

100. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-4e^x+3}{e^{2x}-1}$

2. Montrer que l’équation $e^{2x}+e^x+4x=0$ admet une solution dans l’intervalle $\left[-1;0\right]$

Exercice 2 : Suites numériques (4 pts)

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{3-2u_n}\end{array}\right.$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Calculer $u_1$

2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $0\le u_n\le \frac{1}{2}$

3)

1. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le \frac{1}{2}$

2. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$

4)

1. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $0\le u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$; puis calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$

2. On pose $v_n=\ln \left(3-2u_n\right)$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, calculer $lim\left(v_n\right)$

5)

1. Vérifier que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $\frac{1}{u_{n+1}}-1=3\left(\frac{1}{u_n}-1\right)$

2. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Exercice 3 : Nombres complexes (5 pts)

1. Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ des nombres complexes l’équation $z^2-\sqrt{3}z+1=0$.

2) Soient les nombres complexes $a=e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{6}}$ et $b=\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Écrire $a$ sous forme algébrique.

2. Vérifier que $\overline{a}b=\sqrt{3}$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a$, $b$ et $\overline{a}$.

3. Montrer que le point $B$ est l’image du point $A$ par une homothétie $h$ de centre $O$ dont on déterminera le rapport.

4) Soient $z$ l’affixe d’un point $M$ du plan et $z\text{'}$ l’affixe du point $M\text{'}$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $A$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Écrire $z\text{'}$ en fonction de $z$ et $a$.

2. Soit $d$ l’affixe du point $D$ image de $C$ par la rotation $R$, montrer que $d=a+1$.

100. Soit $I$ le point d’affixe le nombre $1$, montrer que $ADIO$ est un losange.

5)

1. Vérifier que $d-b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\left(1-i\right)$; en déduire un argument du nombre $d-b$.

2. Écrire le nombre $1-b$ sous forme trigonométrique.

100. Déduire une mesure de l’angle $\left(\widehat{\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BD}}\right)$.

Problème : Étude de fonctions numériques et calcul intégral (9 pts)

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $f\left(0\right)=0$ et $f\left(x\right)=2x\ln x-2x$ si $x>0$.

Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : $1cm$)

1. Montrer que $f$ est continue à droite au point $0$.

2)

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

3)

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

2. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x$ de $]0;+\infty [$.

100. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0;+\infty [$.

4)

1. Résoudre dans l’intervalle $]0;+\infty [$ les équations $f\left(x\right)=0$ et $f\left(x\right)=x$.

2. Construire la courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (on prend $e^{\frac{3}{2}}\simeq 4,5$)

5)

1. En utilisant une intégration par parties, montrer que ${\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{1+e^2}{4}$.

2. En déduire ${\int }_1^{e}f\left(x\right)dx$.

6)

1. Déterminer le minimum de $f$ sur $]0;+\infty [$.

2. En déduire que pour tout $x$ de $]0;+\infty [$, on a $\ln x\ge \frac{x-1}{x}$.

7) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ à l’intervalle $[1;+\infty [$.

1. Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ qu’on déterminera.

2. Construire dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ la courbe représentative de la fonction $g^{-1}$.

8) on considère la fonction $h$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $\left\{\begin{array}{l}h\left(x\right)=x^3+3x \left(x\le 0\right)\\ h\left(x\right)=2x\ln x-2x \left(x>0\right)\end{array}\right.$

1. Étudier la continuité de $h$ au point $0$.

2. Étudier la dérivabilité de la fonction $h$ à gauche au point $0$ puis interpréter géométriquement le résultat.

100. La fonction $h$ est-elle dérivable au point $0$ ? Justifier.