Math 2Bac SPC - Semestre 2 Devoir 3 Modèle 1

Exercice 1 (5 pts)

1)Calculer les intégrales suivantes :

$$\begin{gathered} I={\int }_0^1\left(x^2-x+1\right)dx \\ J={\int }_0^1\left(e^x+e^{2x}\right)dx \\ K={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\cos \left(2x\right)dx \end{gathered}$$

2. Résoudre l'équation différentielle $\left(E\right) : y"+y\text{'}-2y=0$

3. Déterminer la solution $f$ de l’équation $\left(E\right)$ qui vérifie $f\left(0\right)=0$ et $f\text{'}\left(0\right)=1$

Exercice 2 (4 pts)

Une urne contient $5$ boules blanches et $3$ boules rouges et $2$ boules noires (indiscernables au touche)

Oon tire au hasard et simultanément $4$ boules de l'urne

On considère les deux événements suivants :

• A "Obtenir une boule rouge exactement"
• B "Obtenir au moins une boule blanche"

1)Montrer que $p\left(A\right)=\frac{1}{2}$ et $p\left(B\right)=\frac{41}{42}$

On considère la variable aléatoire $X$ qui relie chaque tirage par le nombre de boules rouges tirées

2. Vérifier que l'ensemble des valeurs de $X$ est $X\left(\Omega \right)=\left\{0,1,2,3\right\}$

3. Déterminer la loi de probabilité de $X$

4. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de $X$

Exercice 3 (5 pts)

On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ les points $A(1,2,-2)$ et $E(0,3,-3)$ et $C(1,1,-2)$, et le plan $\left(P\right)$ d'équation $x+y-3=0$

1. Calculer la distance du point $\Omega (0,1,-1)$ au plan $\left(P\right)$

2. Déduire que l'équation cartésienne de la sphère $\left(S\right)$ de centre $\Omega$ et tangente au plan $\left(P\right)$ est$\left(S\right) : x^2+y^2+z^2-2y-2z=0$

3. Déterminer $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$

4. Montrer que $x-z-3=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$

5. Vérifier que la sphère $\left(S\right)$ est tangente au plan $\left(ABC\right)$

6. Calculer $\Omega C$ et déduire le point de contact de la sphère $\left(S\right)$ et le plan $\left(ABC\right)$

Exercice 4 (6 pts)

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0,+\infty [$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)-\frac{\ln \left(x\right)}{x}$

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité $1cm$)

1. Montrer que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et interpréter géométriquement le résultat

2. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$ et interpréter géométriquement le résultat

3. Montrer que $\left(\forall x\in ]0,+\infty [\right) f\text{'}\left(x\right)=\frac{x-1+\ln \left(x\right)}{x^2}$

4. Déduire que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1,+\infty [$ et décroissante sur l'intervalle $]0,1]$

5. Donner le tableau de variation de $f$

6. Tracer la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

7. Montrer que ${\int }_1^e\frac{\ln \left(x\right)}{x}dx=\frac{1}{2}$

8. En utilisant une intégration par partie montrer que ${\int }_1^e\ln \left(x\right)dx=1$

9. Déduire l'aire du domaine délimité par la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et l'axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=e$