Séance 14 - Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire

Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Séance 14 (Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire)

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

1-2/ Remarques

1-3/ Propriétés

II- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

2-2/ Technique

2-3/ Définitions

III- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$

IV- Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $\vec{A M} . \vec{u} = k$

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

5-2/ Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $a x + b y + c z + d = 0$

5-3/ Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $\vec{A M} . \vec{n} = 0$

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

6-2/ Propriété

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

7-2/ Parallélisme et orthogonalité d’une droite et un plan

IIX- Étude analytique de la sphère

8-1/ Définition d'une sphère

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre $[A B]$

8-4/ L’ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + c z + d = 0$

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

9-2/ Exercice 2

9-3/ Exercice 3

9-4/ Exercice 4

9-5/ Exercice 5

9-6/ Exercice 6

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nul de l’espace $(E)$

$A$ , $B$ et $C$ sont trois points de $(E)$ tel que $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$

$H$ est la projection de $C$ sur la droite $(A B)$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté par $\vec{u} . \vec{v}$ ou $\vec{A B} . \vec{A C}$ tel que :

Cas 1

$\vec{u} . \vec{v} = \vec{A B} . \vec{A C} = A B . A H$

Cas 2

$\vec{u} . \vec{v} = \vec{A B} . \vec{A C} = - A B . A H$

1-2/ Remarques

$\vec{u} . \vec{u} = {\vec{u}}^{2}$ est le carré scalaire de $\vec{u}$ et est toujours positif.

$\sqrt{\vec{u} . \vec{u}} = A B$ est la norme du vecteur $\vec{A B}$ , on note : $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} . \vec{u}} = A B$ .

$\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$ .

$\vec{u} . \vec{v} = \vec{||u||} \times ||\vec{v}|| \times \cos (\hat{\vec{u}, \vec{v}})$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaire $\Leftrightarrow |\vec{u} . \vec{v}| = \vec{||u||} \times ||\vec{v}||$

Exemple

1-3/ Propriétés

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace $(E)$ et $α \in ℝ$ .

On a :

${\vec{u}}^{2} = {||\vec{u}||}^{2}$

Symétrie du produit scalaire : $\vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$

Positivité du produit scalaire : $\vec{u} . \vec{u} = {\vec{u}}^{2} \geq 0$

Non dégénère : $\vec{u} . \vec{u} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}$

Linéarité du produit scalaire : $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = . \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} (\vec{v} + \vec{w}) . \vec{u} = \vec{v} . \vec{u} + \vec{w} . \vec{u} \vec{u} . (α \vec{v}) = (α \vec{u}) . \vec{v} = α (\vec{u} . \vec{v})$

${(\vec{u} + \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} + 2 \vec{u} . \vec{v} + {\vec{v}}^{2} {(\vec{u} - \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} - 2 \vec{u} . \vec{v} + {\vec{v}}^{2} (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) = {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2}$

Exemple

I- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace $(E)$ rapporté à une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$

Le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et $\vec{w}$ dans cet ordre est le nombre :

$d e t (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = |\begin{matrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{matrix}| d e t (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = x |\begin{matrix} y' & y'' \\ z' & z'' \end{matrix}| - y |\begin{matrix} x' & x'' \\ z' & z'' \end{matrix}| + z |\begin{matrix} x' & x'' \\ y' & y'' \end{matrix}| d e t (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = (x y' z'' - x z' y'') + (- y x' z'' + y z' x'') + (z x' y'' - z y' x'')$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $d e t (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$

2-2/ Technique

Exemple

2-3/ Définitions

$(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base de l’espace $(E)$ équivaut à $\vec{i}$ et $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ne sont pas coplanaires : $(d e t (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \neq 0)$

Prenons un point $O$ de l’espace $(E)$

Le quadruplé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est appelé repère de $(E)$

Si $\vec{i} . \vec{j} = \vec{j} . \vec{k} = \vec{k} . \vec{i} = 0$ et $||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = ||\vec{k}|| = 1$ , alors :

La base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base orthonormée.
Le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est un repère orthonormé.

Exemple

III- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$

Propriété

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est : $\vec{u} . \vec{v} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) . (\begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix}) = x x' + y y' + z z'$

La norme du vecteur $\vec{u}$ est : $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} . \vec{u}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

La distance $A B$ est : $A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

Exemple

IV- Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $\vec{A M} . \vec{u} = k$

Propriété

$A (x_{A}, y_{a}, z_{A})$ est un point et $\vec{u} (a, b, c)$ est un vecteur non nul de l’espace $(E)$ et $k \in ℝ$ .

L’ensemble des points $M (x, y, z)$ de l’espace $(E)$ tel que $\vec{A M} . \vec{u} = k$ est un plan $(P)$ d’équation de la forme : $a x + b y + c z + d = 0$ .

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Tout vecteur $\vec{n}$ non nul sa direction est perpendiculaire au plan $(P)$ s’appelle vecteur normal au plan $(P)$ .

Remarques

Si $\vec{n}$ est normale au plan $P (A, \vec{u}, \vec{v})$ , alors $\vec{n} ⊥ \vec{u}$ et $\vec{n} ⊥ \vec{v}$ .

Si $\vec{n}$ est normale au plan $(P)$ et passe par $A$ le plan $(P)$ est noté par $P (A, \vec{n})$ .

Exemple

Définition

Tout vecteur $\vec{n}$ non nul sa direction est perpendiculaire au plan $(P)$ s’appelle vecteur normal au plan $(P)$ .

Remarques

Si $\vec{n}$ est normale au plan $P (A, \vec{u}, \vec{v})$ , alors $\vec{n} ⊥ \vec{u}$ et $\vec{n} ⊥ \vec{v}$ .

Si $\vec{n}$ est normale au plan $(P)$ et passe par $A$ le plan $(P)$ est noté par $P (A, \vec{n})$ .

Exemple

5-2/ Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $a x + b y + c z + d = 0$

Propriété

L’ensemble des points $M (x, y, z)$ de l’espace $(E)$ qui vérifie $a x + b y + c z + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ est un plan, et le vecteur non nul $\vec{n} (a, b, c)$ est un vecteur normal à ce plan.

Exemple

5-3/ Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $\vec{A M} . \vec{n} = 0$

Propriété 1

$\vec{n} (a, b, c)$ est un vecteur non nul et $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ est un point de l’espace $(E)$ .

L’ensemble des points $M (x, y, z)$ de l’espace $(E)$ qui vérifie $\vec{A M} . \vec{n} = 0$ est le plan $(P)$ qui passe par $A$ et le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal à ce plan (c.à.d. $P (A, \vec{n})$ ).

Le plan $(P)$ a une équation cartésienne de la forme $a x + b y + c z + d = 0$ avec $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

Exemple

5-3/ Ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $\vec{A M} . \vec{n} = 0$

Propriété 2

Tout plan $P (A, \vec{n} (a, b, c))$ a pour équation cartésienne de la forme $a x + b y + c z + d = 0$ la réciproque avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ .

Exemple

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

$(P)$ est un plan et $A$ est un point de l’espace et $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur le plan $(P)$ .

La distance du point $A$ au plan $(P)$ est $A H$ , et on note $A H = d (A, (P))$ .

Exemple

6-2/ Propriété

$(P)$ est un plan et $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ est un point de l’espace $(E)$ tel que $(P)$ a pour équation $a x + b y + c z + d = 0$ .

La distance du point $A$ au plan $(P)$ est :

$A H = d (A, (P)) = \frac{|a x_{A} + b y_{A} + c z_{A} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Exemple

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

Propriété

Soient $(P_{1}) : a x + b y + c z + d = 0$ et $(P_{2}) : a' x + b' y + c' z + d' = 0$ .

$(P_{2}) ∥ (P_{1}) \Leftrightarrow \vec{n'} = α \vec{n}$
$(P_{2}) ⊥ (P_{1}) \Leftrightarrow \vec{n'} . \vec{n} = 0$

Exemple

Propriété

Soient $P (B, \vec{n})$ et $D (A, \vec{u})$

$(D) ∥ (P) \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{n} = 0$
$(D) ⊥ (P) \Leftrightarrow \vec{u} = α \vec{n}$

Exemple

IIX- Étude analytique du sphère

8-1/ Définition d'une sphère

$Ω$ est un point donné de l’espace $(E)$ et $R > 0$

L’ensemble des points $M (x, y, z)$ de l’espace $(E)$ tel que $Ω M = R$ s’appelle le sphère de centre $Ω$ et de rayon $R$ .

On note $(S)$ ou $S (Ω, R)$

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

L'équation cartésienne de $(S) = S (Ω (a, b, c), R)$ est :

$M (x, y, z) \in (S) \Leftrightarrow Ω M = R$

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ avec $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre $[A B]$

Définition

$Ω$ est le milieu de $[A B]$

$[A B]$ est un diamètre du sphère $(S)$ donc $A$ et $B$ appartiennent à $(S)$

On dit la sphère de diamètre $[A B]$ on note $(S)$ ou $S_{[A B]}$ .

Propriété

L'équation cartésienne de $S_{[A B]}$ est : $M (x, y, z) \in S_{[A B]} \Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} = 0$

ou bien $(x - x_{A}) (x - x_{B}) + (y - y_{A}) (y - y_{B}) + (z - z_{A}) (z - z_{B}) = 0$

8-4/ L’ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + c z + d = 0$

On pose $A = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 d$

L’ensemble des points $M (x, y, z)$ tel que $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + c z + d = 0$ est :

$(E) = \emptyset$ si $A < 0$
$(E) = \{Ω (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2})\}$ si $A = 0$
La sphère $(E) = S (Ω (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2}), R = \frac{\sqrt{A}}{2})$ si $A > 0$

IIX- Étude analytique de la sphère

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

Cas 1 : $d = Ω H > R$

$(P) \cap (S) = \emptyset$

Cas 2 : $d = Ω H = R$

$(P) \cap (S) = \{H\}$ ; $(P)$ et $(S)$ sont tangents en $H$ avec $(H Ω) ⊥ (P)$

Cas 3 : $d = Ω H < R$

$(P) \cap (S) = (C)$ ; $(P)$ coupe $(S)$ suivant le cercle de centre $H$ et de rayon $r = R_{c} = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$

Équation du plan tangent à une sphère

Par un point $A$ quelconque d’une sphère $(S)$ il existe un et un seul plan $(Q)$ tangente au sphère $(S)$ au point $A$ .

L’équation de $(Q)$ est : $M \in (Q) \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{A Ω} = 0$

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

Cas 1 : $d = Ω H > R$

$(D) \cap (S) = \emptyset$

Cas 2 : $d = Ω H = R$

$(D) \cap (S) = \{H\}$ ; $(D)$ et $(S)$ sont tangents en $H$ avec $(H Ω) ⊥ (D)$

Cas 3 : $d = Ω H < R$

$(D)$ coupe $(S)$ en deux points $A$ et $B$ (Deux points mais pas le segment $[A B]$ )

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points $A (2, 1, 3)$ , $B (3, 1, 1)$ , $C (2, 2, 1)$ et la sphère $(S)$ d’équation :

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 34 = 0$

Montrer que $\vec{A B} \land \vec{A C} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} + \vec{k}$

En déduire que $2 x + 2 y + z - 9 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

Montrer que la sphère $(S)$ a pour centre le point $Ω (1, - 1, 0)$ et pour rayon $6$ .

Montrer que $d (Ω, (A B C)) = 3$ , et en déduire que le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(Γ)$ .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(Δ)$ passant par le point $Ω$ et orthogonale au plan $(A B C)$ .

Montrer que le point B est le centre du cercle $(Γ)$ .

9-2/ Exercice 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère le plan $(P)$ passant par le point $A (0, 1, 1)$ et dont $\vec{u} (1, 0, - 1)$ est un vecteur normal et la sphère $(S)$ de centre le point $Ω (0, 1, - 1)$ et de rayon $\sqrt{2}$ .

Montrer que $x - z + 1 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$ .

Montrer que le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$ et vérifier que $B (- 1, 1, 0)$ est le point de contact.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(Δ)$ passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$ .

Montrer que la droite $(Δ)$ est tangente à la sphère $(S)$ au point $C (1, 1, 0)$ .

Montrer que $\vec{O C} \land \vec{O B} = 2 \vec{k}$ et en déduire l’aire du triangle $O C B$ .

9-3/ Exercice 3

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

On considère la sphère $(S)$ d’équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 1 = 0$ et le plan $(P)$ d’équation $y - z = 0$ .

Montrer que la sphère $(S)$ a pour centre le point $Ω (1, 1, 1)$ et pour rayon $2$ .

Calculer $d (Ω, (P))$ et en déduire que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(C)$ .

Déterminer le centre et le rayon du cercle $(C)$ .

Soit $(Δ)$ la droite passant par le point $A (1, - 2, 2)$ et orthogonale au plan $(P)$ .

Montrer que $\vec{u} (0, 1, - 1)$ est un vecteur directeur de la droite $(Δ)$ .

Montrer que $||\vec{Ω A} \land \vec{u}|| = \sqrt{2} ||\vec{u}||$ et en déduire que la droite $(Δ)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points.

Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite $(Δ)$ et de la sphère $(S)$ .

9-4/ Exercice 4

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points $A (0, - 2, - 2)$ , $B (1, - 2, - 4)$ et $C (- 3, - 1, 2)$ .

Montrer que $\vec{A B} \land \vec{A C} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} + \vec{k}$ et en déduire que $2 x + 2 y + z + 6 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

On considère la sphère $(S)$ dont une équation est $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 z - 23 = 0$ .

Vérifier que la sphère $(S)$ a pour centre $Ω (1, 0, 1)$ et pour rayon $R = 5$ .

Vérifier que $\{\begin{cases} \begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 t \end{matrix} \\ z = 1 + t \end{cases}; (t \in ℝ)$ est une représentation paramétrique de la droite $(Δ)$ passant par le point $Ω$ et orthogonale au plan $(A B C)$ .

Déterminer les coordonnées de $H$ point d’intersection de la droite $(Δ)$ et du plan $(A B C)$ .

Vérifier que $d (Ω, (A B C)) = 3$ , puis montrer que le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle de rayon $4$ , dont on déterminera le centre.

9-5/ Exercice 5

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère le plan $(P)$ d'équation $x + 2 y - z - 1 = 0$ .

Les points $A (1; 1; 2)$ et $B (2; 1; 1)$ appartiennent-ils au plan $(P)$ ?

Calculer la distance $A B$ puis les distances de ces deux points $A$ et $B$ au plan $(P)$ .

Le point $A$ est-il le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(P)$ ?

9-6/ Exercice 6

On considère les plans d'équations respectives $(P) x - y + z = 0$ et $(Q) 2 x + 3 y + z - 6 = 0$ , et la sphère $(S)$ de centre $Ω (1; 2; 4)$ et tangente au plan $(P)$ .

Soit la droite $(Δ)$ qui passe par $Ω$ et perpendiculaire au plan $(Q)$ .

Monter que les plans $(P)$ et $(Q)$ sont orthogonaux.

Déterminer l’équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

Déterminer le point de tangence de $(P)$ et $(S)$ .

Déterminer le point d’intersection de $(Δ)$ et $(Q)$ .

Montrer que le plan $(Q)$ coupe la sphère $(S)$ suivant une cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

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Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Séance 14 (Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire)

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

1-2/ Remarques

1-3/ Propriétés

II- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

2-2/ Technique

2-3/ Définitions

III- Expression analytique de →u.→v<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math>

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

6-2/ Propriété

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

7-2/ Parallélisme et orthogonalité d’une droite et un plan

IIX- Étude analytique de la sphère

8-1/ Définition d'une sphère

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre [AB]<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>[</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>]</mo></math>

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

9-2/ Exercice 2

9-3/ Exercice 3

9-4/ Exercice 4

9-5/ Exercice 5

9-6/ Exercice 6

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

Cas 1

Cas 2

I- Produit scalaire dans l’espace

1-2/ Remarques

Exemple

I- Produit scalaire dans l’espace

1-3/ Propriétés

Exemple

I- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

I- Base et repère orthonormé

2-2/ Technique

Exemple

I- Base et repère orthonormé

2-3/ Définitions

Exemple

III- Expression analytique de u→.v→<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math>

Propriété

Exemple

Propriété

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Remarques

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Remarques

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

Propriété

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

Propriété 1

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

Propriété 2

Exemple

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

Exemple

III- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre $[A B]$

III- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre $[A B]$

Cas 1 : $d = Ω H > R$

Cas 2 : $d = Ω H = R$

Cas 3 : $d = Ω H < R$

Cas 1 : $d = Ω H > R$

Cas 2 : $d = Ω H = R$

Cas 3 : $d = Ω H < R$