Séance 14 - Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire

Sommaire

 
I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

1-2/ Remarques

1-3/ Propriétés

II- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

2-2/ Technique

2-3/ Définitions

III- Expression analytique de $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

IV- Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=k$

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

5-2/ Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $ax+by+cz+d=0$

5-3/ Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

6-2/ Propriété

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

7-2/ Parallélisme et orthogonalité d’une droite et un plan

IIX- Étude analytique de la sphère

8-1/ Définition d'une sphère

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre $\left[AB\right]$

8-4/ L’ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

9-2/ Exercice 2

9-3/ Exercice 3

9-4/ Exercice 4

9-5/ Exercice 5

9-6/ Exercice 6

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nul de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

$A$, $B$ et $C$ sont trois points de $\left(\mathcal{E}\right)$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$

$H$ est la projection de $C$ sur la droite $\left(AB\right)$.

Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est noté par $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ou $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ tel que :

Cas 1

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AH$

Cas 2

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB.AH$

I- Produit scalaire dans l’espace

1-2/ Remarques

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^2$ est le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$ et est toujours positif.
 
$\sqrt{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}=AB$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$, on note : $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}=AB$.

$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{||u||}\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos \left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaire $\iff \left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right|=\overrightarrow{||u||}\times ||\overrightarrow{v}||$

Exemple

I- Produit scalaire dans l’espace

1-3/ Propriétés

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

On a :

${\overrightarrow{u}}^2={||\overrightarrow{u}||}^2$

Symétrie du produit scalaire : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

Positivité du produit scalaire : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^2\ge 0$

Non dégénère : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=0\iff \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

Linéarité du produit scalaire : $$\begin{gathered} \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=.\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} \\ \left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right).\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{u}.\left(\alpha \overrightarrow{v}\right)=\left(\alpha \overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=\alpha \left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2 \\ {\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2 \\ \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)={\overrightarrow{u}}^2-{\overrightarrow{v}}^2 \end{gathered}$$

Exemple

I- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté à une base $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$

Le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ dans cet ordre est le nombre :

$$\begin{gathered} det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left|\begin{array}{ccc}x& x\text{'}& x\text{'}\text{'}\\ y& y\text{'}& y\text{'}\text{'}\\ z& z\text{'}& z\text{'}\text{'}\end{array}\right| \\ det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=x\left|\begin{array}{cc}y\text{'}& y\text{'}\text{'}\\ z\text{'}& z\text{'}\text{'}\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{cc}x\text{'}& x\text{'}\text{'}\\ z\text{'}& z\text{'}\text{'}\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}x\text{'}& x\text{'}\text{'}\\ y\text{'}& y\text{'}\text{'}\end{array}\right| \\ det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left(xy\text{'}z\text{'}\text{'}-xz\text{'}y\text{'}\text{'}\right)+\left(-yx\text{'}z\text{'}\text{'}+yz\text{'}x\text{'}\text{'}\right)+\left(zx\text{'}y\text{'}\text{'}-zy\text{'}x\text{'}\text{'}\right) \end{gathered}$$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si et seulement si $det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=0$

I- Base et repère orthonormé

2-2/ Technique

Exemple

I- Base et repère orthonormé

2-3/ Définitions

$\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ est une base de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ équivaut à $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ ne sont pas coplanaires : $\left(det \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\ne 0\right)$

Prenons un point $O$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Le quadruplé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ est appelé repère de $\left(\mathcal{E}\right)$

Si $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$ et $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=||\overrightarrow{k}||=1$, alors :

• La base $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ est une base orthonormée.
• Le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ est un repère orthonormé.

Exemple

III- Expression analytique de $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

Propriété

Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}x\text{'}\\ y\text{'}\\ z\text{'}\end{array}\right)=xx\text{'}+yy\text{'}+zz\text{'}$

La norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ est : $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

La distance $AB$ est : $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$.

Exemple

IV- Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=k$

Propriété

$A\left(x_A,y_a,z_A\right)$ est un point et $\overrightarrow{u}\left(a,b,c\right)$ est un vecteur non nul de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ et $k\in \mathrm{ℝ}$.
 
L’ensemble des points $M\left(x,y,z\right)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=k$ est un plan $\left(P\right)$ d’équation de la forme :$ax+by+cz+d=0$.

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Tout vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul sa direction est perpendiculaire au plan $\left(P\right)$ s’appelle vecteur normal au plan $\left(P\right)$.

Remarques

Si $\overrightarrow{n}$ est normale au plan $P(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, alors $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{v}$.

Si $\overrightarrow{n}$ est normale au plan $\left(P\right)$ et passe par $A$ le plan $\left(P\right)$ est noté par $P(A,\overrightarrow{n})$.

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Tout vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul sa direction est perpendiculaire au plan $\left(P\right)$ s’appelle vecteur normal au plan $\left(P\right)$.

Remarques

Si $\overrightarrow{n}$ est normale au plan $P(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, alors $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{v}$.

Si $\overrightarrow{n}$ est normale au plan $\left(P\right)$ et passe par $A$ le plan $\left(P\right)$ est noté par $P(A,\overrightarrow{n})$.

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-2/ Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $ax+by+cz+d=0$

Propriété

L’ensemble des points $M\left(x,y,z\right)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ qui vérifie $ax+by+cz+d=0$ avec $\left(a,b,c\right)\ne \left(0,0,0\right)$ est un plan, et le vecteur non nul $\overrightarrow{n}\left(a,b,c\right)$ est un vecteur normal à ce plan.

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-3/ Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$

Propriété 1

$\overrightarrow{n}\left(a,b,c\right)$ est un vecteur non nul et $A(x_A,y_A,z_A)$ est un point de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$.
 
L’ensemble des points $M\left(x,y,z\right)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ qui vérifie $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$ est le plan $\left(P\right)$ qui passe par $A$ et le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à ce plan (c.à.d. $P(A,\overrightarrow{n})$).

Le plan $\left(P\right)$ a une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $d=-(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A)$.

Exemple

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-3/ Ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$

Propriété 2

Tout plan $P(A,\overrightarrow{n}\left(a,b,c\right))$ a pour équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$ la réciproque avec $\left(a,b,c\right)\ne \left(0,0,0\right)$.

Exemple

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

$\left(P\right)$ est un plan et $A$ est un point de l’espace  et $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur le plan $\left(P\right)$.

La distance du point $A$ au plan $\left(P\right)$ est $AH$, et on note $AH=d(A,(P\left)\right)$.

Exemple

VI- Distance d’un point à un plan

6-2/ Propriété

$\left(P\right)$ est un plan et $A(x_A,y_A,z_A)$ est un point de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ tel que $\left(P\right)$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$.
 
La distance du point $A$ au plan $\left(P\right)$ est :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ AH=d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ } \end{gathered}$$

Exemple

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

Propriété

Soient $\left(P_1\right):ax+by+cz+d=0$ et $\left(P_2\right):a\text{'}x+b\text{'}y+c\text{'}z+d\text{'}=0$.

$\left(P_2\right)\parallel \left(P_1\right)\iff \overrightarrow{n\text{'}}=\alpha \overrightarrow{n}$
$\left(P_2\right)\perp \left(P_1\right)\iff \overrightarrow{n\text{'}}.\overrightarrow{n}=0$

Exemple

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

Propriété

Soient $P\left(B,\overrightarrow{n}\right)$ et $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$

$\left(D\right)\parallel \left(P\right)\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$
$\left(D\right)\perp \left(P\right)\iff \overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{n}$

Exemple

IIX- Étude analytique du sphère

8-1/ Définition d'une sphère

$\Omega$ est un point donné de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ et $R>0$

L’ensemble des points $M(x,y,z)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ tel que $\Omega M=R$ s’appelle le sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$.

On note $\left(S\right)$ ou $S\left(\Omega ,R\right)$

IIX- Étude analytique du sphère

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

L'équation cartésienne de $\left(S\right)=S\left(\Omega \left(a,b,c\right),R\right)$ est :

$M\left(x,y,z\right)\in \left(S\right)\iff \Omega M=R$

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ avec $d=a^2+b^2+c^2-R^2$

IIX- Étude analytique du sphère

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre $\left[AB\right]$

Définition

$\Omega$ est le milieu de $\left[AB\right]$
 
$\left[AB\right]$ est un diamètre du sphère $\left(S\right)$ donc $A$ et $B$ appartiennent à $\left(S\right)$

On dit la sphère de diamètre $\left[AB\right]$ on note $\left(S\right)$ ou $S_{\left[AB\right]}$.

Propriété

L'équation cartésienne de $S_{\left[AB\right]}$ est : $M\left(x,y,z\right)\in S_{\left[AB\right]}\iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$

ou bien $\left(x-x_A\right)\left(x-x_B\right)+\left(y-y_A\right)\left(y-y_B\right)+\left(z-z_A\right)\left(z-z_B\right)=0$

IIX- Étude analytique du sphère

8-4/ L’ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$

On pose $A=a^2+b^2+c^2-4d$

L’ensemble des points $M(x,y,z)$ tel que $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ est :

• $\left(E\right)=\varnothing$ si $A<0$
• $\left(E\right)=\left\{\Omega \left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2}\right)\right\}$ si $A=0$
• La sphère $\left(E\right)=S\left(\Omega \left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2}\right),R=\frac{\sqrt{A}}{2}\right)$ si $A>0$

IIX- Étude analytique de la sphère

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

Cas 1 : $d=\Omega H>R$

$\left(P\right)\cap \left(S\right)=\varnothing$

Cas 2 : $d=\Omega H=R$

$\left(P\right)\cap \left(S\right)=\left\{H\right\}$ ; $\left(P\right)$ et $\left(S\right)$ sont tangents en $H$ avec $\left(H\Omega \right)\perp \left(P\right)$

Cas 3 : $d=\Omega H<R$

$\left(P\right)\cap \left(S\right)=\left(C\right)$ ; $\left(P\right)$ coupe $\left(S\right)$ suivant le cercle de centre $H$ et de rayon $r=R_c=\sqrt{R^2-d^2}$

Équation du plan tangent à une sphère

Par un point $A$ quelconque d’une sphère $\left(S\right)$ il existe un et un seul plan $\left(Q\right)$ tangente au sphère $\left(S\right)$ au point $A$.

L’équation de $\left(Q\right)$ est : $M\in \left(Q\right)\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A\Omega }=0$

IIX- Étude analytique de la sphère

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

Cas 1 : $d=\Omega H>R$

$\left(D\right)\cap \left(S\right)=\varnothing$

Cas 2 : $d=\Omega H=R$

$\left(D\right)\cap \left(S\right)=\left\{H\right\}$ ; $\left(D\right)$ et $\left(S\right)$ sont tangents en $H$ avec $\left(H\Omega \right)\perp \left(D\right)$

Cas 3 : $d=\Omega H<R$

$\left(D\right)$ coupe $\left(S\right)$ en deux points $A$ et $B$ (Deux points mais pas le segment $\left[AB\right]$)

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A(2,1,3)$, $B(3,1,1)$, $C(2,2,1)$ et la sphère $\left(S\right)$ d’équation :

$x^2+y^2+z^2-2x+2y-34=0$

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

2. En déduire que $2x+2y+z-9=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

3. Montrer que la sphère $\left(S\right)$ a pour centre le point $\Omega \left(1,-1,0\right)$ et pour rayon $6$.

4. Montrer que $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=3$, et en déduire que le plan $\left(ABC\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ suivant un cercle $\left(\Gamma \right)$.

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$ passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $\left(ABC\right)$.

6. Montrer que le point B est le centre du cercle $\left(\Gamma \right)$.

IX- Exercices

9-2/ Exercice 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère le plan $\left(P\right)$ passant par le point $A\left(0,1,1\right)$ et dont $\overrightarrow{u}\left(1,0,-1\right)$ est un vecteur normal et la sphère $\left(S\right)$ de centre le point $\Omega \left(0,1,-1\right)$ et de rayon $\sqrt{2}$.

1. Montrer que $x-z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(P\right)$.

2. Montrer que le plan $\left(P\right)$ est tangent à la sphère $\left(S\right)$ et vérifier que $B\left(-1,1,0\right)$ est le point de contact.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$ passant par le point $A$ et orthogonale au plan $\left(P\right)$.

4. Montrer que la droite $\left(\Delta \right)$ est tangente à la sphère $\left(S\right)$ au point $C\left(1,1,0\right)$.

5. Montrer que $\overrightarrow{OC}\wedge \overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{k}$ et en déduire l’aire du triangle $OCB$.

IX- Exercices

9-3/ Exercice 3

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

On considère la sphère $\left(S\right)$ d’équation $x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$ et le plan $\left(P\right)$ d’équation $y-z=0$.

1. Montrer que la sphère $\left(S\right)$ a pour centre le point $\Omega \left(1,1,1\right)$ et pour rayon $2$.

2. Calculer $d\left(\Omega ,\left(P\right)\right)$ et en déduire que le plan $\left(P\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ suivant un cercle $\left(C\right)$.

3. Déterminer le centre et le rayon du cercle $\left(C\right)$.

Soit $\left(\Delta \right)$ la droite passant par le point $A\left(1,-2,2\right)$ et orthogonale au plan $\left(P\right)$.

4. Montrer que $\overrightarrow{u}\left(0,1,-1\right)$ est un vecteur directeur de la droite $\left(\Delta \right)$.

5. Montrer que $||\overrightarrow{\Omega A}\wedge \overrightarrow{u}||=\sqrt{2}||\overrightarrow{u}||$ et en déduire que la droite $\left(\Delta \right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ en deux points.

6. Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite $\left(\Delta \right)$ et de la sphère $\left(S\right)$.

IX- Exercices

9-4/ Exercice 4

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A\left(0,-2,-2\right)$, $B\left(1,-2,-4\right)$ et $C\left(-3,-1,2\right)$.

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ et en déduire que $2x+2y+z+6=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

On considère la sphère $\left(S\right)$ dont une équation est $x^2+y^2+z^2-2x-2z-23=0$.

2. Vérifier que la sphère $\left(S\right)$ a pour centre $\Omega \left(1,0,1\right)$ et pour rayon $R=5$.

3. Vérifier que $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2t\end{array}\\ z=1+t\end{array}\right.; \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$ est une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$ passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $\left(ABC\right)$.

4. Déterminer les coordonnées de $H$ point d’intersection de la droite $\left(\Delta \right)$ et du plan $\left(ABC\right)$.

5. Vérifier que $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=3$, puis montrer que le plan $\left(ABC\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ selon un cercle de rayon $4$, dont on déterminera le centre.

IX- Exercices

9-5/ Exercice 5

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère le plan $\left(P\right)$ d'équation $x+2y-z-1=0$.

1. Les points $A(1;1;2)$ et $B(2;1;1)$ appartiennent-ils au plan $\left(P\right)$ ?

2. Calculer la distance $AB$ puis les distances de ces deux points $A$ et $B$ au plan $\left(P\right)$.

3. Le point $A$ est-il le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $\left(P\right)$ ?

IX- Exercices

9-6/ Exercice 6

On considère les plans d'équations respectives $\left(P\right) x-y+z=0$ et $\left(Q\right) 2x+3y+z-6=0$, et la sphère $\left(S\right)$ de centre $\Omega \left(1;2;4\right)$ et tangente au plan $\left(P\right)$.

Soit la droite $\left(\Delta \right)$ qui passe par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $\left(Q\right)$.

1. Monter que les plans $\left(P\right)$ et $\left(Q\right)$ sont orthogonaux.

2. Déterminer l’équation cartésienne de la sphère $\left(S\right)$.

3. Déterminer le point de tangence de $\left(P\right)$ et $\left(S\right)$.

4. Déterminer le point d’intersection de $\left(\Delta \right)$ et $\left(Q\right)$.

5. Montrer que le plan $\left(Q\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ suivant une cercle dont on déterminera le centre et le rayon.