Mathématiques : 3ème Année Collège
Séance 12 (Repère dans le plan)
Professeur : Mr BENGHANI Youssef
Sommaire
I- Les coordonnées d’un point
1-1/ Repère Orthonormé du Plan
1-2/ Coordonnées d’un point
1-3/ Coordonnées du milieu d’un segment
II- Les coordonnées d’un vecteur
2-1/ Propriété 1
2-2/ Propriété 2
2-3/ Propriété 3
III- La distance entre deux points
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
4-2/ Exercice 2
4-3/ Exercice 3
4-4/ Exercice 4
4-5/ Exercice 5
4-6/ Exercice 6
4-7/ Exercice 7
I- Les coordonnées d’un point
1-1/ Repère Orthonormé du Plan
Un repère orthonormé est un ensemble de deux axes gradués avec la même unité (OI=OJ=1unité), perpendiculaires et ayant la même origine.
On le note (O;I;J).
La droite (OI) est appelée l'axe des abscisses.
La droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées.
Le point O est appelé l'origine du repère.
Dans ce cours le Plan est rapporté à un repère orthonormé (O;I;J) :
I- Les coordonnées d’un point
1-2/ Coordonnées d’un point
Définition
Soit un repère orthonormé (O;I;J).
Tout point M du plan est repéré par un unique couple de réels (xM;yM).
Ce couple (xM;yM) est appelé coordonnées du point M.
- xM : L’abscisse du point M.
- yM : L’ordonnée du point M.
I- Les coordonnées d’un point
1-2/ Coordonnées d’un point
Remarque importante
Si le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;I;J), alors :
O(0;0) ; I(1;0) ; J(0;1)
Si M appartient à l’axe des abscisses alors son ordonné est nul. On écrit : M(xM;0)
Si M appartient à l’axe des ordonnées alors son abscisse est nul. On écrit : M(0;yM)
I- Les coordonnées d’un point
1-3/ Coordonnées du milieu d’un segment
Dans un repère (O;I;J), on considère les points A(xA;yA) et B(xB;yB).
Si K est le milieu du segment [AB] alors :
K(xA+xB2;yA+yB2)
II- Les coordonnées d’un vecteur
2-1/ Propriété 1
Dans un plan rapporté à un repère (O;I;J), on considère les points A(xA;yA) et B(xB;yB).
Les coordonnées du vecteur →AB sont : (xB-xA;yB-yA)
Exemples
II- Les coordonnées d’un vecteur
2-2/ Propriété 2
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Si →DC=→AB alors {xC-xD=xB-xAyC-yD=yB-yA
Exemples
II- Les coordonnées d’un vecteur
2-3/ Propriété 3
Si →AB(x;y) et →CD(x' Alors
Soit un nombre réel, a pour coordonnées .
Exemples
III- La distance entre deux points
Propriété
Dans un repère orthonormé, soient et .
Alors, la distance entre et est donnée par :
Conséquence
Si , alors
Exemples
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
On considère les points :
- Calculer les coordonnées des vecteurs :
IV- Exercices
4-2/ Exercice 2
On considère un repère du plan.
- Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu de :
- Calculer les coordonnées du point tel que est le milieu du segment :
IV- Exercices
4-3/ Exercice 3
Dans un repère orthonormé du pian, on considère les points , et
- Calculer , et .
- En déduire que le triangle est rectangle.
- Trouver les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon ?
IV- Exercices
4-4/ Exercice 4
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points , et .
- Construire les points , et .
- Déterminer le couple de coordonnées des vecteurs , et .
- Calculer les distances , et .
- Montrer que le triangle est isocèle et rectangle en .
On considère le point .
- Construire le point .
- Montrer que les segments et ont le même milieu.
- En déduire la nature du quadrilatère .
IV- Exercices
4-5/ Exercice 5
Dans un repère orthonormé, on considère les points , et .
- Tracer la figure.
- Déterminer la nature du triangle .
- Calculer les coordonnées du point le centre du cercle circonscrit du triangle .
- Déterminer les coordonnées du point l'image de par la translation de vecteur .
- Calculer les coordonnées du point E tel que : .
- Montrer que le point est le milieu de .
- Calculer les coordonnées du point tel que : .
- Calculer les coordonnées du point point d’intersection de la droite et l’axe des abscisses.
IV- Exercices
4-6/ Exercice 6
On considère les points ; ; et .
- Montrer que est un parallélogramme.
- Calculer les distances , et .
- Montrer que est un rectangle.
IV- Exercices
4-7/ Exercice 7
On considère les points ; ; et .
- Quelle est la nature du triangle ?
- Comparer les vecteurs et .
- Montrer que est un losange.
- Calculer les coordonnées du point tel que .