Séance 10 - Fonctions exponentielles

Sommaire

I-  Fonction exponentielle népérienne

1-1/ Définition

1-2/ Conséquence

1-3/ Propriétés

1-4/ Propriétés algébriques

1-5/ Courbe représentative de la fonction exponentielle

1-6/ Limites usuelles

1-7/ Dérivée de la fonction exponentielle

II- Exponentielle de base $a$

2-1/ Définition

2-2/ Propriété

2-3/ Étude de la fonction exponentielle de base $a$

2-4/Dérivée de la fonction exponentielle de base $a$

2-5/ Tableau de variations

2-6/ Courbes

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

I- Fonction exponentielle népérienne

1-1/ Définition

On appelle fonction exponentielle népérienne notée Exp, la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

$$\begin{gathered} exp : \mathrm{ℝ}\to ]0,+\infty [ \\ x\to exp\left(x\right) \end{gathered}$$

I- Fonction exponentielle népérienne

1-2/ Conséquence

- Les fonctions Ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre, pour tout $x>0$ et pour tout réel $y$ :

$\ln \left(x\right)=y\iff exp\left(y\right)=x$

- Pour tout réel x$x$  on écrit aussi : ∀x∈R : $\forall x\in \mathrm{ℝ} : exp\left(x\right)=e^x$

Exemple

I- Fonction exponentielle népérienne

1-3/ Propriétés

$$\begin{gathered} e^0=1 et e^1=e \\ e^{-1}=\frac{1}{e^1} et \sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}} \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) ; \ln \left(e^x\right)=x \\ \left(\forall x>0\right) ; e^{\ln x}=x \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y>0\right) ; \ln y=x\iff e^x=y \\ \left(\forall x,y\in \mathrm{ℝ}\right) ; e^x=e^y\iff x=y \\ \left(\forall x,y\in \mathrm{ℝ}\right) ; e^x>e^y\iff x>y \end{gathered}$$

Exemple

I- Fonction exponentielle népérienne

1-4/ Propriétés algébriques

Pour tous réels $x$ et $y$ et por tout nombre rationnel $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ on a :

$$\begin{gathered} e^x\times e^y=e^{x+y} \\ {e}^{-x}=\frac{1}{e^x} \\ \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y} \\ {\left(e^x\right)}^r=e^{xr} \end{gathered}$$

Exemple

I- Fonction exponentielle népérienne

1-5/ Courbe représentative de la fonction exponentielle

On a vu que la fonction exponentielle népérienne est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

Donc la courbe de la fonction $exp$ notée ${\mathcal{C}}_{exp}$ et la courbe de la fonction $\ln$ notée ${\mathcal{C}}_{\ln }$ sont symétriques par rapport a la droite $\left(D\right)$ d’équation $y=x$,bien entendu, dans un repère orthonormal

La figure ci-dessous donne les représentations graphiques des deux fonctions :

I- Fonction exponentielle népérienne

1-6/ Limites usuelles

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0 \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0 \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0 \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1 \end{gathered}$$

Exemple

I- Fonction exponentielle népérienne

1-7/ Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété

la fonction $x\mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ et $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) {\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x$ .

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Alors $x\mapsto e^x$ est dérivable sur $I$ et $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) {\left(e^{u\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=u\text{'}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$

Remarque

Soit $U$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Les primitives sur $I$ de la fonction $x\mapsto u\text{'}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$ sont les fonctions $x\mapsto e^{u\left(x\right)}+\lambda \left(\lambda \in \mathrm{ℝ}\right)$.

Exemple

II- Exponentielle de base $a$

2-1/ Définition

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$.

On appelle fonction exponentielle de base $a$, la fonction $ex{p}_a$ qui à tout réel $x$ associe le réel $a^x$ tel que $ex{p}_a\left(x\right)=a^x=e^{x\ln \left(a\right)}$.

Remarque

L’ensemble de définition de $a^x$ est $\mathrm{ℝ}$, l’exigence de stricte positivité et différent de $1$ ne porte que sur $a$ et l’égalité $a^x=e^{x\ln \left(a\right)}$ permet de comprendre pourquoi (condition d’existence d’un logarithme).

Lorsque $a=e$, on retrouve la fonction $exp$.

Pour tout réel strictement positif $a$ et différent de $1$, et pour tout réel $x$, on a $a^x>0$

Pour tout réel strictement positif $a$ et différent de $1$, et pour tout réel $x$, on a $\ln \left(a^x\right)=x\ln \left(a\right)$

Exemple

II- Exponentielle de base $a$

2-2/ Propriété

Pour tous nombres réel strictement positifs $a$ et $b$, et pour tous réel $x$ et $y$ on a :

$$\begin{gathered} a^0=1 ; a^1=a ; a^x\times a^y=a^{x+y} \\ {a}^x\times b^x={\left(a\times b\right)}^x ; {\left(a^x\right)}^y=a^{xy} \\ \frac{a^x}{a^y}=a^x-y ; \frac{1}{a^x}=a^{-x} \end{gathered}$$

Exemple

II- Exponentielle de base $a$

2-3/ Dérivée de la fonction exponentielle de base $a$

Propriété

Soit $a$ un réel strictement positif.

La fonction exponentielle de base $a$ est dérivable sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}*$, et pour tout réel $x$ on a :

${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=e^{x\ln \left(a\right)}=\ln \left(a\right).a^x$

Exemple

II- Exponentielle de base $a$

2-4/  Tableau de variations

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$.

Cas 1 : $0<a<1$

Alors, $\ln \left(a\right)<0$ d’où ${\left(a^x\right)}^{\text{'}}<0$, donc la fonction $x\mapsto a^x$ est décroissante sur $\mathrm{ℝ}$.

De plus $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{x\ln \left(a\right)}=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{x\ln \left(a\right)}=+\infty$.

Cas 2 : $a>1$

Alors, $\ln \left(a\right)>0$ d’où ${\left(a^x\right)}^{\text{'}}>0$, donc la fonction $x\mapsto a^x$ est croissante sur $\mathrm{ℝ}$.

De plus $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{x\ln \left(a\right)}=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{x\ln \left(a\right)}=0$.

II- Exponentielle de base $a$

2-5/ Les représentations graphiques de $x\mapsto 0,5^x$ et  $x\mapsto 2^x$ 

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction numérique $g$ d’une variable réelle $x$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$g\left(x\right)=e^x\left(x-1\right)+1$

1. Montrer que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ on a $g\text{'}\left(x\right)=x{e}^x$.

2. Étudier le signe de $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

3. Calculer $g\left(0\right)$ et dresser le tableau de variations de $g$ (le calcul de limites n’est pas demandé).

4. Déduire que $g\left(x\right)\ge 0$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

Partie B - Étude de la fonction

Soit $f$la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$f\left(x\right)=x{e}^x-2e^x+x$

On appelle $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de  dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d’unité graphique $2cm$.

5. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

6. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$ puis interpréter géométriquement ce résultat.

7. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ (on rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$)

8. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$ et que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-x\right)=0$, puis interpréter géométriquement ce résultat.

9. Montrer que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ on a $f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$.

10. Déduire le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ sur $\mathrm{ℝ}$ et dresser le tableau de variations de $f$.

11. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution $\alpha$ telle que $\frac{3}{2}<\alpha <2$.

12. Montrer que $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=x{e}^x$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, et en déduire que la courbe $\left(C_f\right)$ admet un point d’inflexion $I(0 ;-2)$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=x-2-e^{-x}$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Montrer que la droite $\left(\Delta \right) : y=x-2$ est une asymptote oblique à $\left(C_f\right)$ quand $x\to +\infty$.

3. Vérifier que $f\left(x\right)=x\left(1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x{e}^x}\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$.

4. Déduire $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ puis interpréter le résultat.

5. Étudier la position relative de $\left(C_f\right)$ et la droite $\left(\Delta \right) : y=x-2$.

6. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

7. Donner le tableau de variations de $f$.

8. Tracer $\left(C_f\right)$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2{e}^x$

soit $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ puis interpréter géométriquement le résultat.

3. Vérifier que $f\left(x\right)={\left(\frac{x-1}{x}\right)}^2{x}^2{e}^x$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$.

4. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ puis interpréter géométriquement le résultat.

5. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2-1\right)e^x$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

6. Étudier le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ sur $\mathrm{ℝ}$ puis calculer $f(-1)$ et $f\left(1\right)$ et dresser le tableau de variation de $f$.

7. Montrer que $F$ définie par $F\left(x\right)=\left(x^2-4x+5\right)e^x$ est une fonction primitive de la fonction $f$ sur $\mathrm{ℝ}$.
8. tracer  $\left(C_f\right)$ 
9. Déterminer géométriquement le nombre de solutions de l’équation $f\left(x\right)=1$.

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Partie I

Soit la fonction numérique $g$ d’une variable réelle $x$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=2+x{e}^x$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

2. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ puis déduire le signe.

3. En déduire que $g\left(x\right)>0$ sur $\mathrm{ℝ}$.

Partie II

Soit $f$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=2x+\left(x-1\right)e^x$

Et soit $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

4. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)-2x=0$, puis interpréter géométriquement le résultat.

5. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$, puis interpréter géométriquement le résultat.

6. Étudier la position relative de la droite $\left(\Delta \right): y=2x$ et $\left(C_f\right)$.

7. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

8. Étudier le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ puis donner le tableau de variation de la fonction $f$.

9. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.

10. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution $\alpha$ tel que $0<\alpha <1$.

11. Tracer $\left(C_f\right)$ et $\left(\Delta \right)$.