Séance 12 - Théorème de Pythagore et cosinus d'un angle aigu

Sommaire

I- Théorème de Pythagore

1-1/ Théorème direct

1-2/ Présentation des nombres réels

1-3/ Théorème réciproque

II- Cosinus d’un angle aigu

2-1/ Définition

2-2/ Exemple

2-3/ Applications

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Théorème de Pythagore

1-1/ Théorème direct

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres (côtés de l’angle droit).

Remarque

Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.

Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté connaissant les longueurs des deux autres côtés.

Exemple

I- Théorème de Pythagore

1-2/ Présentation des nombres réels

La racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif, noté $\sqrt{a}$, dont le carré est $a$.

Le symbole $\sqrt{}$ est appelé « radical ».

Exemple

I- Théorème de Pythagore

1-3/ Théorème réciproque

Si dans un triangle le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, Alors : ce triangle est rectangle.

Exemple

II- Cosinus d’un angle aigu

2-1/ Définition

Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu est déterminé par deux côtés : l’hypoténuse et le côté adjacent à cet angle.

Dans un triangle rectangle, le cosinus de la mesure d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse  :

$\cos \widehat{ABC}=\frac{coté adjacent}{hypoténuse}=\frac{AB}{BC}$

II- Cosinus d’un angle aigu

2-2/ Exemple

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

$\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}$ se lit « cosinus de l’angle $\widehat{ABC}$»

Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est supérieure strictement aux longueurs des deux autres côtés.

Dans l’exemple : $BC>AB$ et $BC>AC$.

Donc $0<\cos \widehat{ABC}<1$ et $0<\cos \widehat{ACB}<1$.

II- Cosinus d’un angle aigu

2-3/ Applications

Application 1

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ tel que $EF=12$, $EG=5$ et $FG=13$.

1. Calculer $\cos \widehat{EFG}$ et $\cos \widehat{EGF}$

II- Cosinus d’un angle aigu

2-3/ Applications

Application 2

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ tel que $\cos \widehat{EFG}=\frac{3}{4}$ et $FG=8$.

1. Calculer $EF$

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

En utilisant les données de la figure suivante, compléter les égalités suivantes :

$$\begin{gathered} B{D}^2=\_\_{\_}^2+\_\_{\_}^2 \\ A{B}^2=\_\_{\_}^2-\_\_{\_}^2 \\ A{D}^2=\_\_{\_}^2-\_\_{\_}^2 \\ D{C}^2=\_\_{\_}^2+\_\_{\_}^2 \\ B{C}^2=\_\_{\_}^2-\_\_{\_}^2 \\ B{D}^2=\_\_{\_}^2-\_\_{\_}^2 \end{gathered}$$

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=\frac{3}{5}$ et $AC=\frac{4}{5}$

1. Calculer $BC$.

$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que $AB=15$ et $BC=17$

2. Calculer $AC$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

On considère la figure suivante :

1. Existe-t-il un triangle pareil au triangle $ABC$ ? Justifier.

$ABC$ est un triangle  tel que $AB=6cm$ et $AC=4cm$ et $BC=5cm$.

2. $ABC$ est-il un triangle rectangle en $C$ ? Justifier.

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC=4.

1. Calculer $\cos \widehat{ACB}$ et $\cos \widehat{ABC}$

Soit la figure suivante :

2. Calculer $\cos \widehat{AOB}$

3. Calculer la longueur $OD$.

$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que $AC=8$ et $\cos \widehat{ABC}=\frac{3}{5}$.

4. Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que : $AB+AC=2$ et $\cos \widehat{ABC}=\frac{4}{5}$ et $\cos \widehat{ACB}=\frac{3}{5}$.

1. Calculer les longueurs BC, AB et AC.

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Soit la figure suivante :

1. Montrer que $EFG$ est un triangle rectangle en $E$.

2. Calculer $a^2+b^2$.