Séance 11 - Nombres complexes (Partie 2)

Sommaire

I- Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul

1-1/ Définition

1-2/ Formules d’EULER

1-3/ Application (La linéarisation)

II- Équation du deuxième degré

2-1/ Équation de la forme $z^2=a ; \left(z\in \mathrm{ℂ}\right) \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

2-2/ Équation de la forme $a{z}^2+bz+c=0 ; \left(z\in \mathrm{ℂ}\right) \left(a\in \mathrm{ℝ}*\right) \left(b,c\in \mathrm{ℝ}\right)$

III- Écriture complexe des transformations (translation – homothétie – rotation)

3-1/ Écriture complexe d’une translation

3-2/ Écriture complexe d’une homothétie

3-3/ Écriture complexe d’une rotation

IV- La géométrie plane et les nombres complexes

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

I- Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul

1-1/ Définition

L’écriture trigonométrique $z=\left[r,\alpha \right]=\left[\left|z\right|,argz\right]$ sera notée de la manière suivante :

$z=\left[r,\alpha \right]=r\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)=r{e}^{i\alpha }$

$z=r{e}^{i\alpha }$ s’appelle l’écriture exponentielle ou la forme exponentielle de $z$ non nul

Propriétés

Soient $\alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$$\begin{gathered} {\left(e^{i\alpha }\right)}^n=e^{in\alpha } \\ \frac{e^{i\alpha }}{e^{i\beta }}=e^{i\left(\alpha -\beta \right)} \\ \frac{1}{e^{i\beta }}=e^{-i\beta } \\ {e}^{i\alpha }\times e^{i\beta }=e^{i\left(\alpha +\beta \right)} \end{gathered}$$

I- Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul

1-2/ Formules d’EULER

Soit $\alpha \in \mathrm{ℝ}$

On pose $z=\cos \alpha +i\sin \alpha$ $z=\left[1,\alpha \right]=\cos \alpha +i\sin \alpha$un nombre complexe de module 1 et d’argument $\alpha$.

Donc $z=\cos \alpha +i\sin \alpha =r{e}^{i\alpha }$

Les formules d'Euler :

$\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{z+\overline{z}}{2}=\frac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}\\ \sin \alpha =\frac{z-\overline{z}}{2i}=\frac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}\end{array}\right.$

D’où :

$$\begin{gathered} e^{in\alpha }+e^{-in\alpha }=z^n+{\left(\overline{z}\right)}^n=2\cos n\alpha \\ {e}^{in\alpha }-e^{-in\alpha }=z^n-{\left(\overline{z}\right)}^n=2i\sin n\alpha \\ {e}^{in\alpha }\times e^{-in\alpha }=z^n\times {\left(\overline{z}\right)}^n=1 \end{gathered}$$

I- Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul

1-3/ Application (La linéarisation)

On linéarise ${\cos }^{3}x$.

II- Équation du deuxième degré

2-1/ Équation de la forme $z^2=a ; \left(z\in \mathrm{ℂ}\right) \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Soit $a\in \mathrm{ℝ}$

L'ensemble des solutions de l’équation $z\in \mathrm{ℂ} : z^2=a$ est :

- Si $a=0$ alors $S=\left\{0\right\}$.

- Si $a>0$ alors $S=\left\{\sqrt{a},-\sqrt{a}\right\}$.

- Si $a<0$ alors $S=\left\{i\sqrt{-a},-i\sqrt{-a}\right\}$.

Exemple

II- Équation du deuxième degré

2-2/ Équation de la forme $a{z}^2+bz+c=0 ; \left(z\in \mathrm{ℂ}\right) \left(a\in \mathrm{ℝ}*\right) \left(b,c\in \mathrm{ℝ}\right)$

$\Delta =b^2-4ac$ a pour solutions :

- Si $\Delta =0$ alors l’équation a une solution double $z=\frac{-b}{2a}$

- Si $\Delta >0$ alors l’équation à deux solutions réelles $z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

- Si $\Delta <0$ alors l’équation a deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}$.

Exemple

III- Écriture complexe des transformations (translation – homothétie – rotation)

3-1/ Écriture complexe d’une translation

L’écriture complexe de la translation $f=t_{\overrightarrow{u}}$ de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe le complexe $b$ est $z\text{'}-z=b$ ou bien $z\text{'}=z+b$.

Toute transformation $f$ dans le plan complexe qui transforme $M_{\left(z\right)}$ au point $M{\text{'}}_{(z\text{'})}$ tel que : $z\text{'}=z+b$ est une translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe le complexe $b$.

Exemple

III- Écriture complexe des transformations (translation – homothétie – rotation)

3-2/ Écriture complexe d’une homothétie

L’écriture complexe de l’homothétie $f=h(\Omega ,k)$ de centre le point $\Omega$ et de rapport $k\in \mathrm{ℝ}-\left\{0,1\right\}$ est $z\text{'}-\omega =k\left(z-\omega \right)$ ou bien $z\text{'}=kz+b$ avec $b=\omega -k \left(\omega \in \mathrm{ℂ}\right)$.

Toute transformation $f$ dans le plan complexe qui transforme $M_{\left(z\right)}$ au point $M{\text{'}}_{(z\text{'})}$ tel que : $z\text{'}=kz+b$ est une homothétie :

- De centre le point ${\Omega }_{\left(\omega \right)}$, $\Omega$ est un point invariant par $f$ c.à.d. $f\left(\Omega \right)=\Omega$ ou $\omega =k\omega +b$, d’où $\omega =\frac{b}{1-k}$

- De rapport $k\in \mathrm{ℝ}-\left\{0,1\right\}$.

Exemple

III- Écriture complexe des transformations (translation – homothétie – rotation)

3-3/ Écriture complexe d’une rotation

L’écriture complexe de la rotation $f=r(\Omega ,\theta )$ de centre le point $\Omega$ et d’angle $\theta$ est $z\text{'}-\omega =e^{i\theta }\left(z-\omega \right)$ ou bien $z\text{'}=z{e}^{i\theta }+b$ avec $b=\omega -\omega e^{i\theta }\in \mathrm{ℂ}$.

Toute transformation $f$ dans le plan complexe qui transforme $M_{\left(z\right)}$ au point $M{\text{'}}_{(z\text{'})}$ tel que $z\text{'}=kz+b$ avec $a\ne 1$ et $\left|a\right|=1$ (ou $z\text{'}=z{e}^{i\theta }+b$) est une rotation :

- De centre le point ${\Omega }_{\left(\omega \right)}$, $\Omega$ est un point invariant par $f$ c.à.d. $\omega =a\omega +b$ (ou $\omega =e^{i\theta }\omega +b$), d’où : $\omega =\frac{b}{1-a}=\frac{b}{1-e^{i\theta }}$.

- D’angle $arg\left(a\right) \left(2\mathrm{\pi }\right)$ (ou $\theta =arg\left(e^{i\theta }\right) \left(2\mathrm{\pi }\right)$) ou encore $\theta =arg\left(\frac{z\text{'}-\omega }{z-\omega }\right) \left(2\mathrm{\pi }\right)$.

Exemple

IV- La géométrie plane et les nombres complexes

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

1. Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ des nombres complexes l’équation $z^2-z\sqrt{2}+2=0$.

On considère le nombre complexe $u=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$.

2. Montrer que le module de $u$ est $\sqrt{2}$ et que $arg\left(u\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{3} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.

3. En utilisant l’écriture de $u$ sous forme trigonométrique, montrer que $u^6$ est un nombre réel.

Dans le plan complexe $\left(P\right)$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les
points $A$ et $B$ d’affixes respectives $a=4-4i\sqrt{3}$ et $b=8$.

Soit $z$ l’affixe du point $M$ et $z\text{'}$ l’affixe du point $M\text{'}$, l’image de $M$ par la rotation $R$ de centre le point $O$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

4. Exprimer $z\text{'}$ en fonction de $z$.

5. Vérifier que le point $B$ est l’image du point $A$ par la rotation $R$, et en déduire que le triangle $OAB$ est équilatéral.

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $z^2-4z+5=0$

Dans le plan complexe $\left(P\right)$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $\Omega$ d’affixes respectives $a=2+i$, $b=2-i$, $c=i$, $d=-i$ et $\omega =1$.

2. Montrer que $\frac{a-\omega }{b-\omega }=i$.

3. En déduire que le triangle $\Omega AB$ est rectangle isocèle en $\Omega$.

Soit $z$ l’affixe du point $M$ et $z\text{'}$ l’affixe du point $M\text{'}$, l’image de $M$ par la rotation $R$ de centre le point $\Omega$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

4. Montrer que $z\text{'}=iz+1-i$.

5. Vérifier que $R\left(A\right)=C$ et $R\left(D\right)=B$.

6. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre.

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

On considère le nombre complexe $a$ tel que : $a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2}$.

1. Montrer que le module de $a$ est $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

2. Vérifier que $a=2\left(1+\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+2i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

3. Par la linéarisation de ${\cos }^2\theta$ tel que $\theta$ est un nombre réel, montrer que $1+\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta$.

4. Montrer que $a=4{\cos }^2\frac{\mathrm{\pi }}{8}+4i\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8}$ (on rappelle que $\sin 2\theta =2\cos \theta \sin \theta$).

5. Montrer que $4\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$ est la forme trigonométrique du nombre $a$ puis montrer que $a^4={\left(2\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}^{4}i$.

Dans le plan complexe $\left(P\right)$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $\Omega$ et $A$ d’affixes respectives $\omega =\sqrt{2}$ et $a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, et la rotation $R$ de centre le point $\Omega$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

6. Montrer que l’affixe $b$ du point $B$ est l’image du point $A$ par la rotation $R$ est égale à $2i$.

7. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ qui vérifient $\left|z-2i\right|=2$.

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

1. Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ des nombres complexes l’équation : $z^2+10z+26=0$.

Dans le plan complexe $\left(P\right)$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $\Omega$ d’affixes respectives $a=-2+2i$, $b=-5+i$, $c=-5-i$ et $\omega =-3$.

2. Montrer que $\frac{b-\omega }{a-\omega }=i$.

3. En déduire la nature du triangle $\Omega AB$.

Soit le point $D$ l’image du point $C$ par la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe $6+4i$.

4. Montrer que l’affixe $d$ du point $D$ est $1+3i$.

5. Montrer que $\frac{b-d}{a-d}=2$, puis en déduire que le point $A$ est le milieu du segment $\left[BD\right]$.

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

1. Résoudre dans $\mathrm{ℂ}$ l’équation : $z^2-12z+61=0$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a=6-5i$, $b=4-2i$ et $c=2+i$.

2. Calculer $\frac{a-c}{b-c}$, et en déduire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

On considère la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe $1+5i$.

3. Vérifier que l’affixe du point $D$ image du point $C$ par la translation $T$ est $d=3+6i$.

4. Montrer que $\frac{d-c}{b-c}=-1+i$, et que $\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ est un argument de $-1+i$.

5. En déduire une mesure de l’angle $(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD})$.

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

On considère les nombres complexes $a$ et $b$ tels que $a=\sqrt{3}+i$ et $b=\sqrt{3}-1+\left(\sqrt{3}+1\right)i$.

1. Vérifier que : $b=\left(1+i\right)a$

2. En déduire que $\left|b\right|=2\sqrt{2}$, et que $argb=\frac{5\mathrm{\pi }}{12} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.

3. Déduire de ce qui précède que $\cos \frac{5\mathrm{\pi }}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $a$ et $b$ et le point $C$ d’affixe $c=-1+i\sqrt{3}$.

4. Vérifier que $c=ia$, et en déduire que $OA=OC$ et que $\left(\overline{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.

5. Montrer que le point $B$ est l’image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OC}$.

6. En déduire que le quadrilatère $OABC$ est un carré.