Séance 14 - Symétrie centrale

Sommaire

I- Symétrique d’un point

II- Symétrique d’un segment

III- Symétriques des points alignés

IV- Symétrique d'une demi-droite

V- Symétrique d'une droite

VI- Symétrique d'un angle

VII- Symétrique d’un cercle

IIX- Centre de symétrie d’une figure

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

9-2/ Exercice 2

9-3/ Exercice 3

9-4/ Exercice 4

9-5/ Exercice 5

9-6/ Exercice 6

9-7/ Exercice 7

I- Symétrique d’un point

Définition

On dit que le point $B$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $M$ lorsque le point M est le milieu du segment [AB].

$M$ est appelé centre de symétrie.

on dit que : $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $M$.

Cas particulier

Le symétrique du point $O$ par rapport au point $O$ est le point $O$ lui-même.

Exemple

II- Symétrique d’un segment

Propriété

Le symétrique d'un segment $\left[AB\right]$ par rapport à un point $M$ est un segment $[A\text{'}B\text{'}]$ de même longueur.

Remarques

On dit que la symétrie centrale conserve les distances entre deux points.

Pour construire le symétrique d'un segment par rapport à un point, on construit le symétrique de ses extrémités par rapport à ce point.

Exemple

III- Symétriques des points alignés

Propriété

Les symétriques, par rapport à un point $M$, de trois points alignés $A$, $B$ et $C$ sont trois points alignés $A\text{'}$, $B\text{'}$ et $C\text{'}$.

On dit que la symétrie centrale conserve l'alignement.

Exemple

IV- Symétrique d'une demi-droite

Propriété

Le symétrique d'une demi-droite $\left[AB\right)$,par rapport à un point $O$ est une demi-droite $[A\text{'}B\text{'})$ telle que $\left[AB\right)\parallel [A\text{'}B\text{'})$.

$[A\text{'}B\text{'})$ est le symétrique de la demi-droite $\left[AB\right)$ par rapport au point $O$.

Exemple

V- Symétrique d'une droite

Propriété

Le symétrique d'une droite $\left(D\right)$ par rapport à un point $O$ est une droite $(D\text{'})$ parallèle à $\left(D\right)$.

$(D\text{'})$ est le symétrique de la droite $\left(D\right)$ par rapport au point $O$.

On dit que les droites $\left(D\right)$ et $(D\text{'})$ sont symétriques par rapport à $O$.

Cas particulier

Le symétrique d'une droite $\left(D\right)$ par rapport à un point O tel que $O\in \left(D\right)$ est la droite $\left(D\right)$ elle-même.

Exemple

VI- Symétrique d'un angle

Propriété

Le symétrique d’un angle $\widehat{ABC}$ par rapport à mi point $M$ est un angle $\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$ de même mesure.

Avec $A\text{'}$, $B\text{'}$ et $C\text{'}$ sont les symétriques respectifs des points $A$, $B$ et $C$ par rapport au point $M$.

Remarque

On dit que la symétrie centrale conserve les mesures des angles.

Pour construire le symétrique d’un angle $\widehat{ABC}$ par rapport au point $M$, on construit les symétriques des points $A$, $B$ et $C$ par rapport au point $M$.

Exemple

VII- Symétrique d’un cercle

Propriété

Le symétrique d'un cercle $\left(\zeta \right)$ de centre $O$ et de rayon $r$ par rapport à un point $E$ est le cercle $\left(\zeta \text{'}\right)$ de centre $O\text{'}$ (le symétrique de $O$ par rapport à $E$) et de même rayon $r$.

Remarque

Pour tracer le symétrique d’un cercle par rapport à un point, il suffit de tracer le symétrique du centre de ce cercle et de garder le même rayon.

Exemple

IIX- Centre de symétrie d’une figure

Définition

Soient $\left(F\right)$ une figure et $O$ un point.

On appelle $O$ centre de symétrie de $\left(F\right)$ lorsque le symétrique de $\left(F\right)$ par rapport à $O$ est $\left(F\right)$.

Exemples

• Le centre de symétrie d'une droite est un point qui lui appartient.
• Le centre de symétrie d’un segment est son milieu.
• Le centre de symétrie d’un cercle est son centre.

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

Compléter par ce qui convient en utilisant la figure suivante :

1. Le symétrique du segment $\left[BC\right]$ par rapport à $O$ est _____ .

2. Le symétrique de la demi-droite $\left[AB\right)$ par rapport à $O$ est _____ .

3. Le symétrique de la droite $\left(AF\right)$ par rapport à $O$ est _____ , donc les deux droites _____ et _____ sont ____________________ .

4. $A$, $B$ et $C$ sont alignés, donc leurs symétriques _____ , _____ et _____ sont aussi ____________________ .

5. Si $AC=6cm$, alors _________ .

IX- Exercices

9-2/ Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $\left[AB\right]$ est un segment de longueur $4cm$ et le point $E$ est le symétrie de $A$ par rapport à un point $O$ effacé.

1. Placer le point $O$ en justifiant.

2. Placer $F$ le symétrique de $B$ par rapport à $O$.

3. Calculer la distance $EF$ en justifiant.

IX- Exercices

9-3/ Exercice 3

Le triangle $ABC$ est tel que : $AB=5cm$, $AC=4cm$ et $\widehat{BAC}=40°$.

On appelle $G$ le milieu de $\left[AC\right]$ et $D$ le symétrique du point $B$ par rapport à $G$.

1. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$ ?

2. Déterminer la longueur $CD$.

IX- Exercices

9-4/ Exercice 4

$ABC$ est un triangle tel que $AB=4cm$, $AC=5cm$ et $BC=6cm$.

$I$ désigne le milieu de $\left[AB\right]$ et $D$ le symétrique de $C$ par rapport à $I$.

1. Construis la figure.

2. Sans mesurer, mais en justifiant tes réponses, donne les mesures $AD$ et $BD$.

IX- Exercices

9-5/ Exercice 5

Tracer un triangle $ABC$ tel que $AC=8cm$, $\widehat{ABC}=50°$ et $BC=10cm$.

Placer le point $M$ du segment $\left[BC\right]$ tel que $CM=3cm$.

$O$ est le milieu du segment $\left[AM\right]$.

1. Construire les points $G$ et $H$, les symétriques respectifs des points $B$ et $C$ par rapport à $O$.

2. Démontrer que les longueurs $GH$ et $BC$ sont égales.

3. Démontrer que les droites $\left(AB\right)$ et $\left(MG\right)$ sont parallèles.

4. Démontrer que les points $A$, $G$ et $H$ sont alignés.

IX- Exercices

9-6/ Exercice 6

1. Construire le triangle $ABC$ tels que $AB=2cm$, $AC=3,2cm$ et $BC=4cm$.

2. Placer $H$, le pied de la hauteur de $ABC$ issue de $A$.

Soit $O$ un point situé à l'extérieur du triangle $ABC$.

3. Construire les points $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ et $H\text{'}$ les symétriques respectifs des points $A$, $B$, $C$ et $H$ par rapport à $O$.

4. Comment sont les droites $(A\text{'}H\text{'})$ et $(B\text{'}C\text{'})$ ? Justifier.

IX- Exercices

9-7/ Exercice 7

$EFG$ un triangle tels que $FG=6cm$, $EF=4,5cm$ et $EG=5,2cm$.

Les médiatrices de $\left[EF\right]$ et $\left[FG\right]$ se coupent en $I$.

1. Faire une figure.

Soit $\left(C\right)$ le cercle de centre $I$ et de rayon $OE$.

2. En n'utilisant qu'une règle non graduée, construire le symétrique du triangle $EFG$ par rapport à $I$. Expliquer la construction.