Mathématiques : 2ème Année Collège
Séance 9 (Droites remarquables dans un triangle)
Professeur : Mr BENGHANI Youssef
Sommaire
I- Médiatrices d’un triangle
1-1/ La médiatrice des côtés (Rappel)
1-2/ Propriétés
1-3/ Médiatrices d’un triangle
1-4/ Propriétés
1-5/ Remarques importantes
II- Bissectrices d’un triangle
2-1/ Bissectrices d’un angle (Rappel)
2-2/ Bissectrices d’un triangle
III- Hauteurs d’un triangle
3-1/ Définition
3-2/ Propriété
IV- Médiane d'un triangle
4-1/ Définition
4-2/ Propriété
V- Triangles particuliers
5-1/ Triangle rectangle
5-2/ Triangle isocèle
5-3/ Triangle équilatéral
VI- Exercices
6-1/ Exercice 1
6-2/ Exercice 2
6-3/ Exercice 3
6-4/ Exercice 4
6-5/ Exercice 5
6-6/ Exercice 6
I- Médiatrices d’un triangle
1-1/ La médiatrice des côtés (Rappel)
Définition
la médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par le milieu du segment
Exemple
Si est médiatrice de , alors :
Remarques
La médiatrice d’un segment est l’axe de symétrie du segment .
Si médiatrice de , alors et sont symétriques par rapport à .
I- Médiatrices d’un triangle
1-2/ Propriétés
Propriété directe
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment :
Propriété réciproque
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment :
I- Médiatrices d’un triangle
1-3/ Médiatrices d’un triangle
Définition
La médiatrice d’un triangle c’est la médiatrice de l’un de ses côtés.
Chaque triangle a trois médiatrices.
Exemple
Soit un triangle.
est la médiatrice du côté
On appelle aussi La médiatrice du triangle ABC.
I- Médiatrices d’un triangle
1-4/ Propriétés
Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point : On dit qu’elles sont concourantes.
Ce point commun est le centre d’un cercle passant par les trois sommets du triangle.
On dit que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
Le point est le centre du cercle circonscrit au triangle .
I- Médiatrices d’un triangle
1-5/ Remarques importantes
Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
1er cas
Si les 3 angles du triangle sont aigus, alors le centre du cercle circonscrit au triangle est à l'intérieur du triangle :
2nd cas
Si l'un des angles est obtus, alors le centre du cercle circonscrit au triangle est à
l'extérieur du triangle :
II- Bissectrices d’un triangle
2-1/ Bissectrices d’un angle (Rappel)
Définition
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure.
Exemple
est la bissectrice de l’angle .
II- Bissectrices d’un triangle
2-2/ Bissectrices d’un triangle
Définition
La bissectrice d’un triangle est la bissectrice de l’un de ses angles.
Chaque triangle a trois bissectrices.
Exemple
Soit un triangle.
la bissectrice de l’angle .
On appelle aussi : La bissectrice du triangle .
II- Bissectrices d’un triangle
2-2/ Bissectrices d’un triangle
Propriété
Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes (elles passent par un même point)
Le point de concours I est le centre du cercle inscrit du triangle.
Le point est le centre du cercle inscrit au triangle .
Remarque
Pour construire le centre du cercle inscrit, il suffit de tracer deux bissectrices de ce triangle.
III- Hauteurs d’un triangle
3-1/ Définition
La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par l’un des sommets de ce triangle et perpendiculaire au support de côté opposé à ce sommet.
Exemple
III- Hauteurs d’un triangle
3-2/ Propriété
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes, Leur point de concours s’appelle l’orthocentre du triangle.
Exemple
est l'orthocentre Du triangle .
Remarque
Pour construire l’orthocentre d’un triangle, il suffit de tracer deux hauteurs de ce triangle.
IV- Médiane d'un triangle
4-1/ Définition
La médiane d’un triangle c’est la droite passant par un sommet de se triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet.
Exemple
est la médiane relative au coté ou la médiane issue du sommet .
IV- Médiane d'un triangle
4-2/ Propriété
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G.
On dit que ce point commun G est le centre de gravité du triangle.
Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.
Remarque
Si dans un triangle, un point est l’intersection de deux médianes, alors il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets.
C'est à dire :
V- Triangles particuliers
5-1/ Triangle rectangle
Dans un triangle rectangle :
- les hauteurs issues des « sommets des angles aigus » sont confondues avec les côtés de l’angle droit.
- Les 3 médiatrices sont concourantes en un point qui est le milieu de l’hypoténuse.
V- Triangles particuliers
5-2/ Triangle isocèle
Dans un triangle isocèle :
- Les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues (C’est l’axe de symétrie du triangle isocèle).
V- Triangles particuliers
5-3/ Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral :
- Les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues (Ce sont les 3 axes de symétrie du triangle équilatéral).
VI- Exercices
6-1/ Exercice 1
Soit figure suivante :
le point d'intersection des deux droites et
- Montrer que
VI- Exercices
6-2/ Exercice 2
est un parallélogramme de centre .
Soient est le milieu de et celui de .
Soit la droite passant par et perpendiculaire à .
Soit la droite passant par et perpendiculaire à .
Les deux droites et se coupent en .
- Dessiner la figure.
- Que peut-on dire des droites et ?
(Aide : Utiliser le triangle )
VI- Exercices
6-3/ Exercice 3
est un carré de centre et le milieu de .
La droite coupe la droite en point .
- Dessiner la figure
- Que représente le point pour le triangle ?
- Calculer sachant que
- Démontrer que la droite est la médiatrice du segment .
- Que représente le point pour le triangle ?
VI- Exercices
6-4/ Exercice 4
est un triangle tel que et et .
La droite qui passe par le point et perpendiculaire à la droite , coupe la droite en .
- Dessiner la figure.
La bissectrice de l’angle coupe le segment en un point .
- Prouver que le point est le centre du cercle inscrit au triangle AEB.
VI- Exercices
6-5/ Exercice 5
est un triangle équilatéral.
- Trouver la relation entre rayon du cercle inscrit et rayon du cercle circonscrit.
VI- Exercices
6-6/ Exercice 6
est un parallélogramme de centre .
est le centre du gravité du triangle et le centre du gravité du triangle .
- Dessiner la figure.
- Montrer que
- Démontrer que est le milieu du segment .