Mathématiques : 1ère Année Collège

Séance 13 (Développement et factorisation)

 

 

Professeur : Mr BENGHANI Youssef

 

Sommaire

 

I- Rappel

1-1/ Signe devant une parenthèse

1-2/ Suppression du symbole de multiplication

II- Expression littérale

2-1/ Définition

III- Développement

3-1/ Définition

3-2/ Propriété 1 : Produit d’un nombre par une somme

3-3/ Propriété 2 : Produit d’un nombre par une différence

3-4/ Propriété 3 : Produit de deux sommes et de deux différences (double distributivité)

IV- Factorisation

4-1/ Définition

4-2/ Propriété

V- Les identités remarquables

5-1/ Règle

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

6-7/ Exercice 7

 


I- Rappel

 

1-1/ Signe devant une parenthèse

Dans une somme algébrique, les parenthèses précédées du signe + ne changent pas les signes des nombres situés dans la parenthèse.

En revanche, celles précédées du signe – changent les signes.

Exemple

 

 

 

1-2/ Suppression du symbole de multiplication

Afin d’alléger les écritures, on peut ne pas écrire le signe  dans les calculs lorsqu'il est suivi d'une lettre ou d'une parenthèse.

Par exemple :

  • «3×5+6» devient «35+6»
  • «1+2×3+4» devient «1+23+4»
  • «5×a» devient «5a»
  • «a×b» devient «ab»
Exemple

 

 

II- Expression littérale

 

2-1/ Définition

Une expression littérale contient des nombres et des lettres représentant des variables.

Exemples
  1. «B=5x2+3x+4x-2-x2+1» est une expression littérale.

x2=x×x

«x» représente un nombre quelconque. C’est une variable, ou une inconnue.

 

  1. «C=5x2+3y+4x-2-y+1» est une expression littérale ayant 2 variables x et y.

Chaque lettre représente un nombre.

Si une même lettre figure plusieurs fois dans la même expression, elle y représente le même nombre.

 

III- Développement

 

3-1/ Définition

Le développement c’est l’écriture d’un produit en une somme ou en une différence.

Exemple

 

 

 

3-2/ Propriété 1 : Produit d’un nombre par une somme

Soient ab et k des nombres relatifs.

Exemple

 

 

 

3-3/ Propriété 2 : Produit d’un nombre par une différence

Soient ab et k des nombres relatifs.

Exemple

 

 

 

3-4/ Propriété 3 : Produit de deux sommes et de deux différences (double distributivité)

Soient abc et d des nombres relatifs.

Exemple

 

 

IV- Factorisation

 

4-1/ Définition

La factorisation est l’écriture d’une somme ou d’une différence en un produit.

Exemple

 

 

 

4-2/ Propriété

Soient ab et k des nombres relatifs.

Exemple

 

 

 

V- Les identités remarquables

 

5-1/ Règle

Soient a et b deux nombres relatifs.

a+b2=a2+2ab+b2a-b2=a2-2ab+b2a+ba-b=a2-b2

Exemple

 

 

VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

Développer et réduire les expressions suivantes :

A=21-x=B=6x2x+5=C=-4xx2-3x+1=D=-35x-4-2x+2=E=-5x-x-1-2xx+4=F=6x+32x+3=G=3x-44x-7=H=6x21-x2+x-7x3x-2+5x-8=

 

 

6-2/ Exercice 2

Factoriser chacune des expressions littérales suivantes :

A=20x-4=B=-5x2+11x=C=-7x2+21x3-14x=D=6x4-12x3+15x2=E=15x6-5x4+20x2=F=-7x+1-4xx+1=G=x+32x+3-72x+3=H=3x-45x+4-3x-4x-2=I=3x5x-7-5x+75x-7+2x+15x-7=

 

 

6-3/ Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes :

A=2x+92B=4x-82C=6x-56x+5D=10x-52-7x+72E=3x-42+x+2x-2F=7x-87x+8+6x+42

 

 

 

6-4/ Exercice 4

Factoriser chacune des expressions littérales suivantes :

A=16x2-8x+1B=9x2-42x+49C=16-25x2D=25x2-20x+4E=49x2+84x+36F=-6x+32-16

 

 

6-5/ Exercice 5

On pose :

A=3x-12B=2x+42C=3x-12x+4

  1. Développer et simplifier : A et B et C.
  1. Factoriser : A-B
  1. Factoriser : A+2C+B

 

 

6-6/ Exercice 6

Factoriser puis calculer :

A=14×-3+14×7+14×6+14×-11B=23×-1,25-22×-1,25-1,25C=200×-300+-100×200+-100×99

 

 

6-7/ Exercice 7

Réduire les expressions suivantes :

A=12,6x+6x+x-3,6xB=6x-20x+30xC=3x-21x+4xD=-2x+8x+xE=3x+2x+6-6-7xF=5x+1-3x+1-2x