Séance 3 - Continuité (Partie 2)

Sommaire

I- Théorème des valeurs intermédiaires

1-1/ Théorème

1-2/ Méthode dichotomie

II- La fonction réciproque

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Théorème des valeurs intermédiaires

1-1/ Théorème

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et $k$ un réel quelconque compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, alors il existe au moins un réel $c$ dans $\left[a;b\right]$ tel que $f\left(c\right)=k$

Géométriquement

Exemple

I- Théorème des valeurs intermédiaires

Conséquence 1

$f$ est continue sur l’intervalle $\left[a;b\right]$ et $f\left(a\right)\times f\left(b\right)\le 0$ , alors l’équation $f\left(x\right)=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $\left[a;b\right]$.

Exemple

I- Théorème des valeurs intermédiaires

Conséquence 2

Si $f$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $\left[a;b\right]$ et $f\left(a\right)\times f\left(b\right)\le 0$ , alors l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l’intervalle $\left[a;b\right]$.

Exemple

I- Théorème des valeurs intermédiaires

1-2/ Méthode dichotomie

Si $f$ une fonction numérique  continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et  $f\left(a\right)\times f\left(b\right)\le 0$, alors l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\left[a;b\right]$

L’algorithme de la méthode dichotomie

On détermine  $f\left(c\right)$ l’image de centre   du $\left[a;b\right]$ tel que $c=\frac{a+b}{2}$

• Si $f\left(a\right)\times f\left(c\right)\le 0$ alors $\alpha \in \left[a;c\right]$
• Si $f\left(c\right)\times f\left(b\right)\le 0$ alors $\alpha \in \left[c;b\right]$

On reprend les mêmes étapes sur l’intervalle qui contient $\alpha$ jusqu’à avoir un encadrement d’amplitude convenable

.Exemple :

II- La fonction réciproque

2-1/ Propriété 1

Si $f$ est continue et strictement monotone sur intervalle $I$, alors $f$ admet une fonction réciproque notée $f^{-1}$ et définie de $J=f\left(I\right)$ vers $I$ telle que :

$\forall x\in f\left(I\right) ; \forall y\in I ; f^{-1}\left(x\right)=y\iff f\left(y\right)=x$

Exemple

II- La fonction réciproque

2-2/ Propriété 2

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors   $f$ admet  $f^{-1}$  définie sur $J=f\left(I\right)$  et on a :

-  $f^{-1}$ est continue sur $J=f\left(I\right)$

-   $f^{-1}$ est strictement monotone sur $J=f\left(I\right)$  et elle a le même sens de variation que $f$sur $I$.

- Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ dans un repère orthonormé sont symétrique par rapport à la droite d’équation $y=x$ (la première bissectrice du repère).

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

$f$ est la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$f\left(x\right)=x^3+4x-1$

1. Étudier les variations de $f$

2. Déduire que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution $a$ dans  $\left[2;3\right]$

3. Déterminer un encadrement de $a$ d’amplitude $0,5$

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

A- Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=x^2+1$

1. Montrer que  $f$ admet une fonction réciproque

2. Déterminer l’expression de $f^{-1}\left(x\right)$

B- Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $g\left(x\right)=1-\frac{1}{x}$

1. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

2. Calculer $g^{-1}\left(-1\right)$ sans déterminer l’expression de $g^{-1}\left(x\right)$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

C- Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x-1}$

1. Montrer que  $f$  admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

2. Déterminer l’expression de $f^{-1}\left(x\right)$ pout tout $x\in J$

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ par : $f\left(x\right)=\sqrt{x}+x^2-4$

1. Montrer que $f$ est continue et strictement croissante sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$.

2. En déduire que $f$ réalise une bijection de ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ sur lui-même.

3. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0;+\infty [$, et que $1,6<\alpha <1,7$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie sur $I=[1;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=x^2+2x-4$

1. Montrer que $f$ est continue et strictement croissante sur $I$.

2. En déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l’intervalle $J$ à déterminer vers $I$.

3. Déterminer $f^{-1}\left(x\right), \forall x\in J$.

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x-1}$

1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l’intervalle $J$ à déterminer.

2. Déterminer $f^{-1}\left(x\right), \forall x\in J$.