Séance 1 - Limites (Rappel)

Sommaire

I- Limites usuelles

II- Limite d’une fonction polynomiale

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

III- Limite d’une fonction rationnelle

3-1/ Propriété 1

3-2/ Propriété 2

IV- Limite d’une fonction irrationnelle

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite de la somme de deux fonctions

5-2/ Limite du produit de deux fonctions

5-3/ Limite du quotient de deux fonctions

VI- Limites et ordre

6-1/ Théorème 1

6-2/ Théorème des gendarmes

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

I- Limites usuelles

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, on a :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }a{x}^n=\left(signe de a\right)\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }a{x}^n=\left(signe de -a\right)\infty si n est impair \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }a{x}^n=\left(signe de a\right)\infty si n est pair \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty \end{gathered}$$

Exemples

II- Limite d’une fonction polynomiale

2-1/ Propriété 1

Si $f$ est une fonction polynomiale, alors $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Exemple

II- Limite d’une fonction polynomiale

2-2/ Propriété 2

La limite d'un polynôme en $\infty$ est celle de son terme de plus haut degré

Exemples

III- Limite d’une fonction rationnelle

3-1/ Propriété 1

La limite d’une fonction rationnelle en $\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré

Exemples

III- Limite d’une fonction rationnelle

3-2/ Propriété 2

Soit  une fonction rationnelle tel que: $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$

On a : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\frac{p\left(a\right)}{q\left(a\right)}$

Si $p\left(a\right)=q\left(a\right)=0$ (càd $a$ est une racine de $p\left(x\right)$ et $q\left(x\right)$), alors

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\left(x-a\right)p_1\left(a\right)}{\left(x-a\right)q_1\left(a\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{p_1\left(a\right)}{q_1\left(a\right)}$

Exemples

IV- Limite d’une fonction irrationnelle

4-1/ Propriété 1

Si $\underset{x\to ?}{\lim }f\left(x\right)=a$ avec $\left(a\ge 0\right)$, alors $\underset{x\to ?}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{a}$

Si $\underset{x\to ?}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, alors $\underset{x\to ?}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=+\infty$

Exemples

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite de la somme de deux fonctions

$a$ désigne un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty$, $L$ et $M$ sont deux nombres réels.

Exemples

V- Opérations sur les limites

5-2/ Limite du produit de deux fonctions

$a$ désigne un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty$, $L$ et $M$ sont deux nombres réels.

Exemples

V- Opérations sur les limites

5-3/ Limite du quotient de deux fonctions

$a$ désigne un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty$, $L$ et $M$ sont deux nombres réels.

Exemples

VI- Limites et ordre

6-1/ Théorème 1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$.

Si $\left(\forall x\in I\right) ; f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ et $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ alors $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

Si $\left(\forall x\in I\right) ; f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ et $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Exemples

VI- Limites et ordre

6-2/ Théorème des gendarmes

Soient $f$ et $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

Si $\left(\forall x\in I\right) ; g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)$ et $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }h\left(x\right)=k$ alors $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=k$

Lemme

Si $\left(\forall x\in I\right) ; \left|f\left(x\right)-k\right|\le g\left(x\right)$ et $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=0$ alors $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=k$

Exemples

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x^3+x^2-x+1 \\ B=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x+5x^2-7x^3 \\ C=\underset{x\to -\infty }{\lim }3x^2+x-3 \\ D=\underset{x\to -\infty }{\lim }2x^3-x^2+x \\ E=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+7x^3} \\ F=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+x-1}{{(x-1)}^2} \\ G=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-4}{{(2x-3)}^3} \end{gathered}$$

VII- Exercices

7-2/ Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+1}{{(x-1)}^2} \\ B=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{3x+1}{x^2+x-2} \\ C=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-x}{2x^2+2x-4} \\ D=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-x}{2x^2+2x-4} \\ E=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^2-9x+8} \end{gathered}$$

VII- Exercices

7-3/ Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3} \\ B=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\sqrt{x+5}-2}{1+x} \\ C=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2} \\ D=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^2-x-4}{\sqrt{x+5}-2} \end{gathered}$$

VII- Exercices

7-4/ Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to +\infty }{\lim }x-\sqrt{x} \\ B=\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^4-2x^3+1}-x \\ C=\underset{x\to +\infty }{\lim }x-\sqrt{x^2+1} \\ D=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x-\sqrt{x^2+3} \end{gathered}$$

VII- Exercices

7-5/ Exercice 5

Soit $f$ une fonction Définie par : $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-2} ; x>2\\ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{\sqrt{x+2}-2} ; x<2\\ f\left(2\right)=\frac{8}{3}\end{array}\right.$

1. Déterminer $D_f$ l’ensemble de définition de $f$.

2. Calculer les limites suivantes : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$.

VII- Exercices

7-6/ Exercice 6

Soit $f$ une fonction Définie par : $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^2-6x+5}{x-5} ; x\ne 5\\ f\left(5\right)=4\end{array}\right.$

1. Déterminer puis calculer $\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)$.

2. Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=5$.

3. Déterminer l’équation de $\left(T\right)$ la tangente à $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ en $5$.