Mathématiques : 2Bac Eco-SGC
Séance 7 (Suites numériques – Partie 2)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Critères de convergence
1-1/ Critère 1 (Théorème des gendarmes)
1-2/ Critère 2 (Théorème des gendarmes)
1-3/ Théorème
1-4/ Critère 3
II- Limite d’une suite de type
III- Limite d’une suite de type
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
4-2/ Exercice 2
4-3/ Exercice 3
4-4/ Exercice 4
I- Critères de convergence
1-1/ Critère 1 (Théorème des gendarmes)
Soient , et trois suites numériques.
Si, on a pour tout n de I et , alors est convergente et .
Exemple
I- Critères de convergence
1-2/ Critère 2 (Théorème des gendarmes)
Soient et deux suites numériques et un réel.
Si, on a pour tout n de I et , alors est convergente et .
Exemple
I- Critères de convergence
1-3/ Théorème
Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.
I- Critères de convergence
1-4/ Critère 3
Soient et deux suites numériques.
Si on a pour tout n de I ,et , alors .
Si on a pour tout n de I et , alors .
Exemple
II- Limite d’une suite de type
Propriété
est la suite numérique définie par la relation récurrente du type , et de premier terme , avec est une fonction continue sur un intervalle telle que .
Si et est une suite convergente alors sa limite est une solution de l’équation .
Exemple
III- Limite d’une suite de type
Propriété
si est la suite numérique convergente , et sa limite vaut L , et est une fonction continue en L,
Alors la suite définie par une suite convergente et sa limite est f(L).
Exemple
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
On considère la fonction définie sur par
- Étudier la monotonie de sur .
- Montrer que .
- Étudier le signe de sur .
- Résoudre dans l’équation .
On considère la suite
- Montrer par récurrence que .
- Montrer que est décroissante.
- En déduire qu’elle est convergente.
- Calculer la limite de .
IV- Exercices
4-2/ Exercice 2
Soit une suite numérique définie par :
- Montrer que .
- Étudier la monotonie de la suite .
- Montrer que .
- En déduire que .
- Calculer la limite de .
IV- Exercices
4-3/ Exercice 3
Soit une suite numérique définie par :
- Montrer que .
- Étudier la monotonie de la suite . et en déduire qu’elle est convergente
- Montrer que .
- En déduire que .
- Calculer limite de .
IV- Exercices
4-4/ Exercice 4
Soit la fonction définie sur par :
- Dresser le tableau de variation de .
On considère la suite définie par et pour tout .
- Calculer et (donner les résultats sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à près).
- Démontrer, par récurrence, que
- Démontrer que .
- En déduire, par récurrence, que pour tout entier , on a :
- En déduire la limite de la suite .