Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM
Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
I- Exercice 1
Soit f la fonction définie par f(x)=x-2√x+2.
Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,→i,→j).
- Déterminer Df et calculer limx→+∞f(x).
- Étudier les branches infinies de la courbe (Cf).
- Étudier la position relative de la courbe (Cf) et la droite (Δ) d’équation (Δ):y=x.
- Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en 0.
- Calculer f'(x) pour tout x∈]0,+∞[.
- Dresser le tableau de variation de la fonction f.
- Construire (Δ) et (Cf).
On considère la suite (un) définie par {un+1=13un+n-2u0=1(∀n∈ℕ).
- Montrer par récurrence que un>1 (∀n∈ℕ).
- Montrer que (un) est décroissante, en déduire qu’elle est convergente.
- Calculer la limite de la suite (un).
II- Exercice 2
On considère la suite (un) définie par {un+1=13un+n-2u0=1(∀n∈ℕ).
- Calculer u1, u2 et u3.
- Démontrer que pour tout entier naturel n≥4, on a un≥0.
- En déduire que pour tout entier naturel n≥5, on a un≥n-3.
- En déduire la limite de la suite (un).
On définit la suite (vn) par vn=-2un+3n-212 (∀n∈ℕ)
- Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
- En déduire que un=254(13)n+32n-214 (∀n∈ℕ)
Soit la somme Sn définie par : Sn=u0+u1+u2+.....un (∀n∈ℕ).
- Déterminer l’expression de Sn en fonction de n.