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Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

I- Exercice 1

 

Soit f la fonction définie par f(x)=x-2√x+2.

Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,→i,→j).

  1. Déterminer Df et calculer limx→+∞f(x).
  1. Étudier les branches infinies de la courbe (Cf).
  1. Étudier la position relative de la courbe (Cf) et la droite (Δ) d’équation (Δ):y=x.
  1. Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en 0.
  1. Calculer f'(x) pour tout x∈]0,+∞[.
  1. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
  1. Construire (Δ) et (Cf).

On considère la suite (un) définie par {un+1=13un+n-2u0=1(∀n∈ℕ).

  1. Montrer par récurrence que un>1 (∀n∈ℕ).
  1. Montrer que (un) est décroissante, en déduire qu’elle est convergente.
  1. Calculer la limite de la suite (un).

 

II- Exercice 2

 

On considère la suite (un) définie par {un+1=13un+n-2u0=1(∀n∈ℕ).

  1. Calculer u1, u2 et u3.
  1. Démontrer que pour tout entier naturel n≥4, on a un≥0.
  1. En déduire que pour tout entier naturel n≥5, on a un≥n-3.
  1. En déduire la limite de la suite (un).

On définit la suite (vn) par vn=-2un+3n-212 (∀n∈ℕ)

  1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
  1. En déduire que un=254(13)n+32n-214 (∀n∈ℕ)

Soit la somme Sn définie par : Sn=u0+u1+u2+.....un (∀n∈ℕ).

  1. Déterminer l’expression de Sn en fonction de n.

 

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