Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM
Séance 5 (Dérivation et étude des fonctions – Partie 2)
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
I- Applications de la fonction dérivée première
1-1/ La monotonie d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée
1-2/ Extremums d’une fonction dérivable
II- Applications de la fonction dérivée seconde
2-1/ Position relative de la tangente et la courbe – la concavité
2-2/ Points d’inflexions
III- Centre de symétrie – axe de symétrie de la courbe d’une fonction
3-1/ Centre de symétrie de la courbe d’une fonction
3-2/ Axe de symétrie de la courbe d’une fonction
IV- Branches infinies d’une fonction
4-1/ Branches infinies
4-2/ Asymptote verticale
4-3/ Asymptote horizontale
4-4/ Asymptote oblique
V- Bilan des branches infinies
VI- Exercices
6-1/ Exercice 1
6-2/ Exercice 2
6-3/ Exercice 3
6-4/ Exercice 4
6-5/ Exercice 5
6-6/ Exercice 6
I- Applications de la fonction dérivée première
1-1/ La monotonie d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle I
Si la fonction dérivée f' est strictement positive sur I, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
(même si f' s’annule en un points fini de I, ça ne change pas la monotonie de f)
Si la fonction dérivée f' est strictement négative sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
(même si f' s’annule en un points fini de I, ça ne change pas la monotonie de f)
Si la fonction f' est nulle sur I tout entier, alors f est constante.
Exemple
I- Applications de la fonction dérivée première
1-2/ Extremums d’une fonction dérivable
Propriété 1
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, a est un élément de I.
Si f est dérivable au point a et admet un extremum au point a alors f'(a)=0.
Remarque
f'(a)=0 ne signifie pas que f(a) est un extremum de la fonction f.
Exemple
I- Applications de la fonction dérivée première
1-2/ Extremums d’une fonction dérivable
Propriété 2
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, a est un élément de I.
Si f' s’annule au point a et f' change de signe au voisinage de a alors f(a) est un extremum de la fonction f.
Exemple
II- Applications de la fonction dérivée seconde
2-1/ Position relative de la tangente et la courbe – la concavité
Propriété et définition
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si ∀x∈I , alors la courbe est située au dessus des tangentes des points tel que .
Dans ce cas on dit que la courbe de est convexe (ou sa concavité est dans le sens des ordonnés positives. On note ).
Si , alors la courbe est située au dessous des tangentes des points tel que .
Dans ce cas on dit que la courbe de est concave (ou sa concavité est dans le sens des ordonnés négatives. On note ).
Exemple
II- Applications de la fonction dérivée seconde
2-2/ Points d’inflexions
Propriété et définition
est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle , et .
Si la fonction dérivée seconde s’annule en et change de signe au voisinage de , alors le point est un point d’inflexion au courbe .
Dans ce cas la tangente au point coupe (ou traverse) la courbe .
Exemple
III- Centre de symétrie – axe de symétrie de la courbe d’une fonction
3-1/ Centre de symétrie de la courbe d’une fonction
Propriété
Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur dans un plan rapporté à un repère orthonormé .
Le point est centre de symétrie de la courbe
Exemple
III- Centre de symétrie – axe de symétrie de la courbe d’une fonction
3-2/ Axe de symétrie de la courbe d’une fonction
Propriété
Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur dans un plan rapporté à un repère orthonormé .
La droite d’équation est axe de symétrie de la courbe
Exemple
IV- Branches infinies d’une fonction
4-1/ Branches infinies
Définition
Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur dans un plan rapporté à un repère orthonormé .
Si au moins une des coordonnées d’un point de la courbe de tend vers l’infinie, on dit que la courbe admet une branche infinie.
Exemple
IV- Branches infinies d’une fonction
4-2/ Asymptote verticale
Définition
Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur dans un plan rapporté à un repère orthonormé .
Si et , alors la droite d’équation est une asymptote verticale à (à droite de ou à gauche de ).
Exemple
IV- Branches infinies d’une fonction
4-3/ Asymptote horizontale
Définition
Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur dans un plan rapporté à un repère orthonormé .
Si (ou ), alors la droite d’équation (ou ) est une asymptote horizontale à au voisinage de (ou )
Exemple
IV- Branches infinies d’une fonction
4-4/ Asymptote oblique
Définition
Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur (tel que ou )dans un plan rapporté à un repère orthonormé .
Si , alors la droite d’équation est une asymptote oblique à au voisinage de .
Exemple
IV- Branches infinies d’une fonction
4-4/ Asymptote oblique
Propriétés
Si la droite d’équation est une asymptote oblique à au voisinage de , donc pour déterminer et on calcule les limites suivantes :
Pour déterminer on calcule
Pour déterminer on calcule
Les cas particuliers :
- 1er cas particulier : , on dit que admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnés.
- 2nd cas particulier : , on dit que admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses .
- 3ème cas particulier : avec , on dit que admet une branche parabolique de direction la droite d’équation .
Exemples
V- Bilan des branches infinies
VI- Exercices
6-1/ Exercice 1
On considère la fonction numérique définie par , et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité de 1 cm).
a- Déterminer le domaine de définition de la fonction .
b- Calculer et , puis interpréter géométriquement le deuxième résultat.
c- Montrer que la courbe admet une asymptote oblique au voisinage de dont on déterminera son équation.
d- Étudier la position relative de la courbe et la droite .
a- Montrer que pour tout de .
b- Montrer que pour tout de on a , puis en déduire le signe de sur .
c- Montrer que pour tout de on a , puis en déduire le signe de sur .
d- Dresser le tableau de variations de la fonction sur .
e- Donner l’équation de la tangente à la courbe au point .
- Construire la droite et la tangente et la courbe de dans le même repère .
a- Montrer que la fonction admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle qu'on déterminera.
b- Montrer que la fonction réciproque est dérivable sur l’intervalle .
c- Construire dans le même repère la courbe représentative de la fonction .
VI- Exercices
6-2/ Exercice 2
On considère la fonction numérique définie par , et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité de 2 cm).
a- Montrer que est définie sur .
b- Calculer et , puis interpréter géométriquement les deux résultats.
a- Montrer que pour tout de .
b- Montrer que la fonction est croissante sur .
c- Dresser le tableau de variations de la fonction sur .
a- Montrer que le point est un centre de symétrie de la courbe .
b- Donner l’équation de la tangente à la courbe au point .
- Construire la tangente et la courbe de dans le même repère .
a- Montrer que la fonction admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle qu'on déterminera.
b- Construire dans le même repère la courbe représentative de la fonction .
c- Calculer , puis montrer que la fonction réciproque est dérivable en puis calculer .
VI- Exercices
6-3/ Exercice 3
On considère la fonction numérique définie sur par
Soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité de 2 cm).
a- Calculer , puis interpréter géométriquement le résultat.
b- Étudier la continuité de la fonction au point .
a- Montrer que la fonction est dérivable au point et le nombre dérivé est .
b- Donner l’équation de la tangente à la courbe au point .
c- Étudier la dérivabilité à droite de la fonction au point .
d- Vérifier la fonction dérivée de sur est .
e- Dresser le tableau de variations de la fonction sur .
- Construire la courbe de dans le repère .
On considère la restriction de la fonction sur .
4) a- Montrer que la fonction admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle qu'on déterminera.
4) b- Calculer puis montrer que la fonction réciproque est dérivable en puis calculer .
VI- Exercices
6-4/ Exercice 4
On considère la fonction numérique définie sur par :
Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormé (unité de 1 cm).
a- Calculer et puis interpréter géométriquement les résultats.
b- Calculer et puis interpréter géométriquement les résultats.
c- Calculer .
d- Montrer que admet au voisinage de une asymptote oblique au voisinage de dont on déterminera l’équation.
e- Étudier la position relative de la courbe et la droite d’équation sur .
a- Calculer puis interpréter géométriquement le résultat.
b- Calculer pour tout de , puis vérifier que .
c- Étudier le signe de sur .
d- Dresser le tableau de variations de la fonction sur .
e- Écrire l’équation réduite de la tangente à au point .
- Construire dans le repère la droite et la courbe (unité de 1 cm).
On considère la restriction de la fonction sur .
4) a- Montrer que la fonction admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle qu'on déterminera.
4) b- Calculer puis montrer que la fonction réciproque est dérivable en .
4) c- Calculer .
VI- Exercices
6-5/ Exercice 5
Soit la fonction :
Soit sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan .
- Déterminer , puis étudier la continuité et la dérivabilité de sur . Justifier les réponses.
- Étudier la parité de et en déduire un élément de symétrie de .
- Étudier les limites de aux bornes de , et en déduire les asymptotes éventuelles à .
- Étudier les variations de et dresser son tableau de variations.
- Étudier la concavité de et résumer cette étude dans un tableau.
- Déterminer une équation cartésienne de la tangente à au point d’abscisse .
- Étudier la position de par rapport à .
- Tracer et dans le repère .
VI- Exercices
6-5/ Exercice 6
Partie 1
Soit la fonction définie sur par : .
- Calculer . et
- Vérifier que : .
- En déduire que : .
Partie 2
Soit la fonction définie sur par : .
- Vérifier que pour tout réel on a : .
- Dresser le tableau de variation de .
- Montrer que . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
- Montrer que la droite est une asymptote oblique à au voisinage de .
- Tracer et dans un repère orthonormé .