Séance 7 - Fonctions primitives

Sommaire

I- Primitives d’une fonction numérique

1-1/ Définition

1-2/ Propriété 1

1-3/ Propriété 2

1-4/ Propriété 3

II- Fonctions primitives de la somme de deux fonctions

III- Produit d’une fonction par un réel $\alpha$

IV- Opérations sur les fonctions primitives

V- Fonctions primitives des fonctions usuelles

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Primitives d’une fonction numérique

1-1/ Définition

Une fonction $F$ est une primitive d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ si :

$\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{I}\mathrm{ }\mathrm{:}\mathrm{ }\mathrm{F}\mathrm{\text{'}}\left(x\right)\mathrm{=}\mathrm{f}\left(x\right)$

Exemple

I- Primitives d’une fonction numérique

1-2/ Propriété 1

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une fonction primitive sur $I$.

I- Primitives d’une fonction numérique

1-3/ Propriété 2

$F$ est une primitive d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

Toute fonction primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme $G\left(x\right)=F\left(x\right)+c ; \left(c\in \mathrm{ℝ}\right)$.

Exemple

I- Primitives d’une fonction numérique

1-4/ Propriété 3

$F$ est une primitive d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

Toute fonction primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme $G\left(x\right)=F\left(x\right)+c ; \left(c\in \mathrm{ℝ}\right)$.

$x_0\in I et y_0\in \mathrm{ℝ}$ ; il existe une seule fonction primitive $G$ de $f$ qui vérifie la condition $G\left(x_0\right)=y_0$.

Exemple

II- Fonctions primitives de la somme de deux fonctions

Propriété

$F$ et $G$ sont les primitives respectivement de $f$ et $g$ sur $I$.

On a $F+G$ est une primitive de $f+g$.

Exemple

III- Produit d’une fonction par un réel $\alpha$

Propriété

$F$ est la primitive de $f$ sur $I$ et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

On a $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$.

Exemple

IV- Opérations sur les fonctions primitives

V- Fonctions primitives des fonctions usuelles

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

1. Déterminer les fonctions primitives de chacune des fonctions suivantes :

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

1. Déterminer la fonctions primitive $g$ de la fonction $f$ tel que $g$ prend la valeur $y_0$ par $g$ en $x_0$, pour chaque cas suivant :

$$\begin{gathered} \overline{)1} y_0=0 ; x_0=1 ; f\left(x\right)=x^3-6x^2+1 \\ \overline{)2} y_0=1 ; x_0=0 ; f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^3 \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

1. Déterminer l’ensemble des primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle $I$ :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=x^3-2x^2+3x-5 ; I=\mathrm{ℝ} \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\frac{3}{x^2} ; I=[1,+\infty [ \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}} ; I=[1,+\infty [ \\ \overline{)4} f\left(x\right)=\frac{1}{x^2} ; I=]0,+\infty [ \\ \overline{)5} f\left(x\right)=3x^2\left(x^3-1\right) ; I=\mathrm{ℝ} \\ \overline{)6} f\left(x\right)=\frac{2x}{{\left(x^2-3\right)}^3} ; I=[4,+\infty [ \\ \overline{)7} f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} ; I=\mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Soit $f:x\mapsto \frac{x^3-3x^2+7}{{\left(x-2\right)}^2}$ définie sur $I=[3,+\infty [$.

1. Déterminer $a$, $b$ et $c$ de façon que $f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{{\left(x-2\right)}^2}$.

2. Calculer les primitives de $f$ sur $I=[3,+\infty [$.

3. En déduire la primitive $F$ de $f$ sachant que $F\left(3\right)=\frac{11}{2}$.

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

Soit la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=2x^2+x+1+\frac{1}{x^2}$

1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$.

2. Déterminer la fonction primitive de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$ tel que $F\left(1\right)=3$.

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=\frac{5x^4+40x^2+20x+80}{{\left(x^2+4\right)}^2}$.

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right): f\left(x\right)=\frac{ax+b}{{\left(x^2+4\right)}^2}+c$.

2. Déterminer la fonctions primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\mathrm{ℝ}$ tel que : $F\left(0\right)=c$.