Séance 9 - Nombres complexes (Partie 1)

Sommaire

I- Introduction aux nombres complexes

1-1/ Définitions

1-2/ Vocabulaire

II- Présentation géométrique d’un nombre complexe

2-1/ Introduction

2-2/ Propriétés des affixes

III- Conjugué d’un nombre complexe

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés

IV- Module d’un nombre complexe

4-1/ Définition

4-2/ Propriétés 1

4-3/ Propriétés 2

V- Argument d’un nombre complexe non nul

5-1/ Définition

5-2/ Propriétés

VI- Écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul

6-1/ Définition

6-2/ Propriétés

VII- Opérations sur les formes trigonométriques

VIII- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

I- Introduction aux nombres complexes

1-1/ Définitions

Un nombre complexe est un nombre tel que son écriture est de la forme $z=a+ib$ avec $\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ et $i$ est un nombre imaginaire avec $i^2=-1$.

Les nombres complexes constituent un ensemble est appelé ensemble des nombres complexes, on le note $\mathrm{ℂ}$.

L’ensemble $\mathrm{ℂ}$ est muni de deux opérations : l’addition notée $+$ et la multiplication notée $\times$, qui ont les mêmes propriétés de l’addition et de la multiplication dans $\mathrm{ℝ}$ ( commutativité, associativité …. ).

$a+bi=a\text{'}+b\text{'}i\iff \left(a=a\text{'} et b=b\text{'}\right)$

Exemple

I- Introduction aux nombres complexes

1-2/ Vocabulaire

Les nombres $1+i$ et $1-i$ sont appelés nombres complexes.

En général : un nombre complexe est écrit de la forme $z=a+ib$ avec $\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

Le nombre complexe $z\text{'}=a-ib$ avec $\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ est appelé le nombre complexe conjugué de $z$ noté $\overline{z}$.

• Exemple : $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}z=3+4i \\ \\ z\text{'}=-5-2i\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{z}=3-4i \\ \\ \overline{z\text{'}}=-5+2i\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

L’écriture $z=a+ib$ avec $\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ est appelée l’écriture (ou la forme ) algébrique de $z$.

Le réel $a$ est appelé la partie réelle, et on note $Re\left(z\right)=a$.

Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire, et on note $Im\left(z\right)=b$.

I- Introduction aux nombres complexes

1-3/ Opérations dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$

$z=x+yi,z\text{'}=x\text{'}+y\text{'}i\in \mathrm{ℂ}$ avec $x,y,x\text{'},y\text{'}\in \mathrm{ℝ}$

Addition dans $\mathrm{ℂ}$

$z+z\text{'}=x+yi+x\text{'}+y\text{'}i=\left(x+x\text{'}\right)+\left(y+y\text{'}\right)i$

Multiplication dans $\mathrm{ℂ}$

$z\times z\text{'}=\left(x+yi\right)\times \left(x\text{'}+y\text{'}i\right)=\left(xx\text{'}-yy\text{'}\right)+\left(xy\text{'}+yx\text{'}\right)i$

L’inverse de z

$$\begin{gathered} z=a+bi\ne 0\left(\left(a,b\right)\ne \left(0,0\right)\right) \\ \Rightarrow \\ \frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{\overline{z}}{z.\overline{z}}=\frac{a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)} \\ \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i \end{gathered}$$

Le quotient de z par z'

$$\begin{gathered} \frac{z}{z\text{'}}=\frac{x+yi}{x\text{'}+y\text{'}i}=\frac{z\times \overline{z\text{'}}}{z\text{'}\times \overline{z\text{'}}} \\ \frac{z}{z\text{'}}=\frac{xx\text{'}+yy\text{'}}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}+\frac{yx\text{'}-xy\text{'}}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}i \end{gathered}$$

Exemples

II- Présentation géométrique d’un nombre complexe

2-1/ Introduction

Le plan $\left(P\right)$ est muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

À tout nombre complexe $z=x+yi$ de $\mathrm{ℂ}$ on lui associe le point $M\left(x,y\right)$ de $\left(P\right)$ tel que :

$f\left(z\right)=f\left(x+yi\right)=M\left(x,y\right)$

Le plan $\left(P\right)$ est appelé le plan complexe.

Le point $M\left(x,y\right)$ est l’image du complexe $z=x+yi$.

II- Présentation géométrique d’un nombre complexe

2-2/ Propriétés des affixes

$A\left(z_A\right)$ , $B\left(z_B\right)$, $C\left(z_C\right)$ et $I\left(z_I\right)$ sont 4 points du plan complexe $\left(P\right)$.
 
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

Le vecteur $k\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $k\left(z_B-z_A\right)$.

Le point $I$ milieu de $\left[AB\right]$ a pour affixe $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$.

$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \left(k\in \mathrm{ℝ}\right)$ càd $z_C-z_A=k\left(z_B-z_A\right)$ , d’où les points A et B et C sont alignés ($z_B-z_A\ne 0$).

Exemple

III- Conjugué d’un nombre complexe

3-1/ Définition

Le nombre complexe $z\text{'}=x-yi$ est appelé le conjugué du nombre complexe $z=x+yi$

On note $z\text{'}=\overline{z}=x-yi$.

Exemple

III- Conjugué d’un nombre complexe

3-2/ Propriétés

Soient $z=x+yi$ et $z\text{'}=x\text{'}+y\text{'}i$ deux nombres complexes avec $\left(x,y,x\text{'},y\text{'}\right)\in {\mathrm{ℝ}}^4$. On a :

$$\begin{gathered} z+\overline{z}=2x=2Re\left(z\right) \\ z-\overline{z}=2y=2Im\left(z\right) \\ z\times \overline{z}=x^2+y^2 \\ \overline{\left(\overline{z}\right)}=z \\ \overline{z+z\text{'}}=\overline{z}+\overline{z\text{'}} \\ \overline{z\times z\text{'}}=\overline{z}\times \overline{z\text{'}} \\ z\in \mathrm{ℝ}\leftrightarrow \overline{z}=z \\ z\in i\mathrm{ℝ}\leftrightarrow \overline{z}=-z \end{gathered}$$

Exemple

IV- Module d’un nombre complexe

4-1/ Définition

Soit $z=x+yi\in \mathrm{ℂ}$ avec $\left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

Le nombre réel positif $\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$ s’appelle le module de $z$.

On le note $\left|z\right|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

Exemple

IV- Module d’un nombre complexe

4-2/ Propriétés 1

Soient $z_A=x_A+y_{A}i$ et $z_B=x_B+y_{B}i$ et $z_C=x_C+y_{C}i$ les affixes des points $A$ et $B$ et $C$ avec $z_A\ne z_C$.

On a $AB=z_B-z_A=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

$\left|\frac{z_B-z_A}{z_B-z_A}\right|=\frac{AB}{AC}$

Si $\left|\frac{z_B-z_A}{z_B-z_A}\right|=\frac{AB}{AC}=1$ alors le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

Exemple

IV- Module d’un nombre complexe

4-3/ Propriétés 2

$$\begin{gathered} \left|\overline{z}\right|=\left|-z\right|=\left|z\right|=\left|-\overline{z}\right| \\ \left|z+z\text{'}\right|\le \left|z\right|+\left|z\text{'}\right| \\ \left|z\right|=0\iff z=0 \\ \left|\frac{1}{z\text{'}}\right|=\frac{1}{\left|z\text{'}\right|} et \left|\frac{z}{z\text{'}}\right|=\frac{\left|z\right|}{\left|z\text{'}\right|} \\ \left|z\times z\text{'}\right|=\left|z\right|\times \left|z\text{'}\right| \\ \left|z^p\right|+{\left|z\right|}^p ; p\in \mathrm{\mathbb{Z}} et z\ne 0 \end{gathered}$$

Exemple

V- Argument d’un nombre complexe non nul

5-1/ Définition

Soit $M\left(z\right)$ ($M\left(z\right)\ne O\leftrightarrow z\ne 0$) est un point du plan complexe $P$ muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Toute mesure $\alpha$ de l’angle orienté $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)$ s’appelle argument du nombre complexe non nul $z$.

On note

$arg\left(z\right)=\alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]$

$arg\left(z\right)=\overline{\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)}\left[2\mathrm{\pi }\right]$

$arg\left(z\right)=\alpha +2k\mathrm{\pi } ; \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Exemple

V- Argument d’un nombre complexe non nul

5-2/ Propriétés

$z$ et $z\text{'}$ deux complexes non nuls :

$$\begin{gathered} arg\left(z\times z\text{'}\right)\equiv arg\left(z\right)+arg\left(z\text{'}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ arg\left(\frac{1}{z\text{'}}\right)\equiv -arg\left(z\text{'}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ arg\left(\frac{z}{z\text{'}}\right)\equiv arg\left(z\right)-arg\left(z\text{'}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ p\in \mathrm{\mathbb{Z}} ; arg\left(z^p\right)\equiv p\times arg\left(z\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ k>0\Rightarrow arg\left(kz\right)\equiv arg\left(z\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ k<0\Rightarrow arg\left(kz\right)\equiv \mathrm{\pi }+arg\left(z\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

Exemple

VI- Écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul

6-1/ Définition

Soit $z=x+yi$ un nombre complexe non nul tel que $arg\left(z\right)\equiv \alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $r=\left|z\right|$.

Le nombre complexe non nul $z$ s’écrit de les formes suivantes :

$$\begin{gathered} z=\left|z\right|\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\ z=\sqrt{x^2+y^2}\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\ \left[\left|\mathrm{z}\right|,arg\left(z\right)\right]=\left[r,\alpha \right] \end{gathered}$$

Chaque écriture précédente est appelé la forme (ou l’écriture) trigonométrique du nombre complexe non nul $z=x+yi$.

Exemple

VI- Écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul

6-2/ Propriétés

$$\begin{gathered} z=a>0\Rightarrow z=\left[a,0\right] \\ z=a<0\Rightarrow z=\left[-a,\mathrm{\pi }\right] \\ z=bi ; b>0\Rightarrow z=\left[b,\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right] \\ z=bi ; b<0\Rightarrow z=\left[b,-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right] \\ z=\left[r,\mathrm{\alpha }\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}-z=\left[r,\mathrm{\pi }+\mathrm{\alpha }\right]\\ \\ \overline{z}=\left[r,-\mathrm{\alpha }\right]\\ \\ -\overline{z}=\left[r,\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }\right]\end{array}\right\} \end{gathered}$$

Exemple

VII- Opérations sur les formes trigonométriques

$z$ et $z\text{'}$ deux complexes non nuls tel que : $\left\{\begin{array}{l}z=\left[r,\alpha \right]=r\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)\\ z\text{'}=\left[r\text{'},\alpha \text{'}\right]=r\text{'}\left(\cos \alpha \text{'}+i\sin \alpha \text{'}\right)\end{array}\right.$

On a :

$$\begin{gathered} z\times z\text{'}=\left[r,\alpha \right]\times \left[r\text{'},\alpha \text{'}\right]=\left[r\times r\text{'},\alpha +\alpha \text{'}\right]=rr\text{'}\left(\cos \left(\alpha +\alpha \text{'}\right)+i\sin \left(\alpha +\alpha \text{'}\right)\right) \\ {z}^n={\left[r,\alpha \right]}^n=\left[r^n,n\alpha \right] \\ {\left[1,\alpha \right]}^n=\left[1^n,n\alpha \right]=\left[1,n\alpha \right]\iff \left[{\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)}^n=\left(\cos n\alpha +i\sin n\alpha \right)\right] \\ \frac{1}{z\text{'}}=\frac{1}{\left[r\text{'},\alpha \text{'}\right]}=\left[\frac{1}{r\text{'}},-\alpha \text{'}\right] \\ \frac{z}{z\text{'}}=\frac{\left[r,\alpha \right]}{\left[r\text{'},\alpha \text{'}\right]}=\left[\frac{r}{r\text{'}},\alpha -\alpha \text{'}\right] \\ \iff \frac{z}{z\text{'}}=\frac{r\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)}{r\text{'}\left(\cos \alpha \text{'}+i\sin \alpha \text{'}\right)}=\frac{r}{r\text{'}}\left(\cos \left(\alpha -\alpha \text{'}\right)+i\sin \left(\alpha -\alpha \text{'}\right)\right) \end{gathered}$$

Exemple

VIII- Exercices

8-1/ Exercice 1

1. Écrire les nombres complexes sous forme algébrique :

$$\begin{gathered} \overline{)1} z_1=\frac{1}{2-3i} \\ \overline{)2} z_2=\frac{1-i}{3+i} \\ \overline{)3} z_3=\frac{2i}{1-2i}+\frac{{\left(1+i\right)}^2}{i} \\ \overline{)4} z_4=\left(3+i\right)\left(1-5i\right) \\ \overline{)5} z_5=\frac{3-6i}{3+i}+\frac{4}{3-i} \end{gathered}$$

VIII- Exercices

8-2/ Exercice 2

1. Donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \overline{)2} z_2=\sqrt{6}-\sqrt{2}i \\ \overline{)3} z_3=\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}i \\ \overline{)4} z_4=\left(1-i\right)\left(-\sqrt{3}+i\right) \\ \overline{)5} z_5=\frac{1+\sqrt{3}i}{1+i} \\ \overline{)6} z_6={\left(1+i\right)}^5 \end{gathered}$$

VIII- Exercices

8-3/ Exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A=2-2i\sqrt{3}$ et $z_B=2+2i\sqrt{3}$ et $z_C=8$.

1. Donner une forme trigonométrique des nombres complexes $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ .

2. Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur le repère .

On pose : $Z=\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$

3. Déterminer $\left|Z\right|$ et $arg\left(Z\right)$.

4. En déduire la nature du triangle $ABC$.

VIII- Exercices

8-4/ Exercice 4

On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A=-\sqrt{2}$ et $z_B=1+i$ et $z_C=1-i$.

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur un repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

2. Déterminer le module et l'argument de $Z=\frac{z_A-z_B}{z_A-z_C}$.

3. Déduire une mesure de l'angle orienté $\left(\overline{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}}\right)$.

4. Déterminer la forme algébrique puis une forme trigonométrique du quotient $\frac{z_A-z_B}{z_A}$.

5. Déduire $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$ et $\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$.

VIII- Exercices

8-5/ Exercice 5

Dans le plan complexe, soit $z=x+yi$ avec $x\in \mathrm{ℝ}$ et $y\in \mathrm{ℝ}$.

On considère le nombre complexe $U=\left(z-2i\right)\left(\overline{z}-1\right)$, et soit $M$ l’image du nombre complexe $z$.

1. Écrire en fonction de $x$ et $y$ la partie réel et la partie imaginaire de $U$.

2. Déterminer l’ensemble des points $M\left(z\right)$ du plan tels que $U$ est réel.

3. Déterminer l’ensemble des points $M\left(z\right)$ tels que $U$ est imaginaire pur.

VIII- Exercices

8-6/ Exercice 6

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

on considère les points $A, B, C, D, E$ et $F$ qui ont pour affixes $z_A=2$, $z_B=-2i$, $z_C=2+2i$, $z_D=3i$, $z_E=-3$ et $z_F=-2+2i$

1. Représenter les points $A, B, C, D, E$ et $F$ dans le plan complexe.

2. En utilisant la représentation, déterminer l’argument des complexe $z_A, z_B, z_C, z_D, z_E$ et $z_F$,