Séance 6 - Ordre et opérations

Sommaire

I- Comparaison de deux nombres réels

1-1/ Propriété

1-2/ Exemple

II- Ordre et opérations

2-1/ Ordre et addition – Ordre et soustraction

2-2/ Ordre et multiplication

2-3/ Ordre et inverse

2-4/ Ordre et carré

2-5/ Ordre et racine carré

III- Encadrement

3-1/ Encadrement et addition

3-2/ Encadrement et opposé

3-3/ Encadrement et addition

3-4/ Encadrement et multiplication

3-5/ Encadrement et inverse

3-6/ Encadrement et carré, encadrement et racine carrée

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

I- Comparaison de deux nombres réels

1-1/ Propriété

Soient a et b deux nombres réels :

• Si $a-b<0$ alors $a<b$
• Si $a-b>0$ alors $a>b$
• Si $a-b=0$ alors $a=b$

1-2/ Exemple

On compare $\frac{2}{5}$ et $\frac{5}{7}$

II- Ordre et opérations

2-1/ Ordre et addition – Ordre et soustraction

Propriété 1

Soient a, b et c trois nombres réels :

Si $a<b$ alors $a+c<b+c$
Si $a<b$ alors $a-c<b-c$

Exemples 1

• Comparer : $3+\sqrt{7}$ et $8+\sqrt{7}$
• Si $x>3$, comparer : $x-5$ et $-2$

II- Ordre et opérations

2-1/ Ordre et addition – Ordre et soustraction

Propriété 2

Soient a, b et c trois nombres réels :

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.$ alors $a+c<b+d$

Exemples 2

a et b deux nombres réels tel que $a<4$ et $3>b$

• Montrer que : $a+b<7$

II- Ordre et opérations

2-2/ Ordre et multiplication

Propriété 1

Soient a, b et c trois nombres réels :

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c>0\end{array}\right.$ alors $a\times c<b\times c$

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<0\end{array}\right.$ alors $a\times c>b\times c$

Exemples 1

Soit x un nombre réel tel que $x<3$

• Comparons $-4x$ et $-12$

On a : $\left\{\begin{array}{l}x<3\\ -4<0\end{array}\right.$ alors $-4\times x>-4\times 3$ donc $-4x>-12$

Remarque

Soient a et b deux nombres réels :

Si $a<b$ alors $-a>-b$

II- Ordre et opérations

2-2/ Ordre et multiplication

Propriété 2

Soient a, b et c trois nombres réels positifs:

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.$ alors $a\times c<b\times d$

Exemples 2

Soit x et y deux nombres réels positifs tel que $x<3$ et $y<2\sqrt{3}$

• Montrer que $xy<6\sqrt{3}$

II- Ordre et opérations

2-3/ Ordre et inverse

Propriété

Soient a et b deux nombres réels :

Si $a<b$ alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

Exemples

On a : $3<8$ alors $\frac{1}{3}>\frac{1}{8}$

On a $-8<-3$ alors $\frac{1}{-8}<\frac{1}{-3}$

II- Ordre et opérations

2-4/ Ordre et carré

Propriété 1

Soient a et b deux nombres réels positifs :

Si $a<b$ alors $a^2<b^2$

Si $a^2<b^2$ alors $a<b$

Propriété 1

Soient a et b deux nombres réels négatifs :

Si $a<b$ alors $a^2>b^2$

Si $a^2>b^2$ alors $a<b$

Exemples

• Comparer $3\sqrt{5}$ et $\sqrt{41}$

II- Ordre et opérations

2-5/ Ordre et racine carré

Propriété 1

Soient a et b deux nombres réels positifs :

Si $a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$

Si $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ alors $a<b$

Exemples

• Comparer $\sqrt{15}$ et $\sqrt{23}$

III- Encadrement

3-1/ Encadrement et addition

Propriété

Soient a, b, c, d, x et y des nombres réels

Si $\left\{\begin{array}{l}a\le x\le b\\ c\le y\le d\end{array}\right.$ alors $a+c\le x+y\le b+d$

Exemple

x et y deux nombres réels tels que $3\le x\le 8$ et $-4\le y\le 2$

• Encadrer $x+y$

III- Encadrement

3-2/ Encadrement et opposé

Propriété

Soient a, b et x des nombres réels

Si $a\le x\le b$ alors $-b\le -x\le -a$

Exemple

x et y deux nombres réels tels que $3\le x\le 8$ et $-4\le y\le 2$

• Encadrer $-x$ et $-y$

III- Encadrement

3-3/ Encadrement et addition

Propriété

Soient a, b, c, d, x et y des nombres réels

Si $\left\{\begin{array}{l}a\le x\le b\\ c\le y\le d\end{array}\right.$ alors $a-d\le x-y\le b-c$

Exemple

x et y deux nombres réels tels que $3\le x\le 8$ et $-4\le y\le 2$

• Encadrer $x-y$

III- Encadrement

3-4/ Encadrement et multiplication

Propriété

Soient a, b, c, d, x et y des nombres réels

Si $\left\{\begin{array}{l}a\le x\le b\\ c\le y\le d\end{array}\right.$ alors $ac\le xy\le bd$

Exemple

x et y deux nombres réels tels que $3\le x\le 8$ et $-4\le y\le 2$

• Encadrer $xy$

III- Encadrement

3-5/ Encadrement et inverse

Propriété

Soient a, b et x des nombres réels

Si $a\le x\le b$ alors $\frac{1}{b}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{a}$

Exemple

x et y deux nombres réels tels que $3\le x\le 8$ et $-4\le y\le 2$

• Encadrer $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$

III- Encadrement

3-6/ Encadrement et carré, encadrement et racine carrée

Propriété

Soient a, b et x des nombres réels

Si $a\le x\le b$ alors $a^2\le x^2\le b^2$ et $\sqrt{a}\le \sqrt{x}\le \sqrt{b}$

Exemple

x et y deux nombres réels tels que $3\le x\le 8$ et $-4\le y\le 2$

• Encadrer $\sqrt{x}$ et $y^2$

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

Comparer les nombres suivants :

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

1. Recopier et compléter :

2. Trouver l’inégalité que vérifie x dans chaque cas :

$x+3>5 ; x-2>6 ; 3x>12 ; 8x+3\le 5$

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Comparer les nombres $7\sqrt{2}$ et $5\sqrt{3}$ puis déduire la comparaison des nombres $\frac{1}{7\sqrt{2}+9}$ et $\frac{1}{5\sqrt{3}+9}$

Comparer les nombres $5\sqrt{2}$ et $4\sqrt{3}$ puis déduire la comparaison des nombres $\sqrt{4\sqrt{3}+7}$ et $\sqrt{5\sqrt{2}+7}$

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

$x$ désigne un nombre réel tel que $x\ge 2$

On a $A={\left(x-1\right)}^2$ et $B={\left(x-2\right)}^2$

1. Factoriser la différence $A-B$.

2. En déduire le signe de $A-B$ et comparer alors $A$ et $B$.

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

3. Démontrer que $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

IV- Exercices

4-5/ Exercice 5

$x$ et $y$ deux nombres réels tel que $2\le x\le 5$ et $1\le y\le 4$

1. Encadrer $x+5 ; x+y ; 3x ; -5y ; 3x-5y ; xy ; \frac{1}{xy} ; x^2-y$

$m$ et $n$ deux nombres réels tel que $\frac{1}{3}\le \frac{m+5}{3}\le 1$ et $5\le n\le 7$

2. Démontrer que  $-4\le m\le -2$

3. Encadrer $\frac{m+n}{n-m}$ et $m\times n$

IV- Exercices

4-6/ Exercice 6

a et b deux nombres réels tel que $a>2$ et $b>2$

1. Démontrer que $ab>a+b$