Séance 5 - Théorème de Pythagore

Sommaire

I- Théorème de Pythagore

1-1/ Théorème direct

1-2/ Utilisation du théorème direct

1-3/ Exemple

II- Réciproque du théorème de Pythagore

2-1/ Théorème Réciproque

2-2/ Utilisation du théorème réciproque

2-3/ Exemple

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

3-7/ Exercice 7

I- Théorème de Pythagore

1-1/ Théorème direct

Dans un TRIANGLE RECTANGLE, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des côtés de l’angle droit.

I- Théorème de Pythagore

1-2/ Utilisation du théorème direct

Le théorème de Pythagore permet de calculer les longueurs

I- Théorème de Pythagore

1-3/ Exemple

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que : AB = 7 cm et AC = 3 cm.

Calculer BC

II- Réciproque du théorème de Pythagore

2-1/ Théorème Réciproque

Dans un triangle, si le carré de la longueur du côté le plus grand est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

II- Réciproque du théorème de Pythagore

2-2/ Utilisation du théorème réciproque

La réciproque du théorème de Pythagore est très pratique pour montrer qu’un triangle est rectangle (perpendicularité).

2-3/ Exemple

Soit ABC un triangle tel que :

$AB=\sqrt{7}cm$ et $AC=2cm$ et $BC=\sqrt{3}cm$

• Montrer que le triangle ABC est rectangle et préciser en quel sommet.

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

On considère la figure suivante tel que H le projeté orthogonal du A sur BC :

1. Calculer AH

2. Calculer BH

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Est-ce que le triangle ABC est rectangle ? justifiez votre réponse :

1. $AB=\sqrt{5}cm ; AC=\sqrt{8}cm ; BC=\sqrt{13}cm$

2. $AB=\sqrt{13}cm ; AC=\sqrt{21}cm ; BC=\sqrt{29}cm$

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Est-ce que le triangle ABC  est rectangle ? justifiez votre réponse :

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

BCD est un trapèze rectangle en B et C tel que : AB=4 et BC=2 et CD=5 :

1. Montrer que : $AC=2\sqrt{5}$

Soit H le projeté orthogonal de A sur (DC)

2. Calculer AD

3. Montrer que ADC est un triangle rectangle

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

ABC est un triangle tel que : $AB =3$ et $AC=6$ et $BC=3\sqrt{5}$

1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en A

Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).

2. Calculer AH et BH et CH

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

$\left(C\right)$ un cercle de diamètre [AB] tel que : $AB=10$

Soit $E$ un point du cercle $\left(C\right)$ tel que : $AE=8$

1. Démontrer que le triangle $AEB$ est rectangle en $E$.

2. Calculer $BE$
3. calculer $EO$sachant que $O$ est le centre du cercle $\left(C\right)$.

III- Exercices

3-7/ Exercice 7

Soit la figure suivante :

1. Calculer $AR$ et $HC$.

2. En déduire $RC$.

3. Le triangle $ARC$ est-il rectangle ? Justifier.