Séance 2 - Puissances

Sommaire

I- Puissance d’un nombre réel

1-1/ Définition

1-2/ Puissances à exposant négatif

1-3/ Le signe d’une puissance

II- Règles de calculs sur les puissances

2-1/ Propriétés

III- Puissance de 10

3-1/ Propriétés

IV- Écriture scientifique

4-1/ Définition

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

I- Puissance d’un nombre réel

1-1/ Définition

Soient a un nombre réel et n un nombre entier naturel non nul :

${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}$ se lit: a puissance n ou a exposant n

Remarques

${\mathrm{a}}^0=1 (\mathrm{a}\ne 0) ; {\mathrm{a}}^1=\mathrm{a} ; 0^{\mathrm{n}}=0 (\mathrm{n}\ne 0) ; 0^0 \mathrm{n}\text{'}\mathrm{existe} \mathrm{pas}$

Exemples

I- Puissance d’un nombre réel

1-2/ Puissances à exposant négatif

Soient a et b deux nombres réels non nuls et n un nombre entier naturel :

$\overline{){\mathrm{a}}^{\mathrm{-}\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{ }{\left(\frac{a}{b}\right)}^{\mathrm{-}\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{ }{\left(\frac{b}{a}\right)}^{\mathrm{n}}}$

Exemples

I- Puissance d’un nombre réel

1-3/ Le signe d’une puissance

Soit a un nombre réel et n un nombre entier non nul.

Si n est paire, alors ${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}$ est toujours positif quel que soit le signe de a.

Si n est impaire, alors :

• Si a est positif, alors ${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}$ est positif.
• Si a est négatif, alors ${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}$ est négatif.

Remarques importantes

II- Règles de calculs sur les puissances

2-1/ Propriétés

soient a et b deux nombres réels non nuls, n et m deux entiers naturels.

Produit de deux puissances de même base :

$\overline{){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{m}}}$

Produit de deux puissances de même exposant :

$\overline{){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{(a\times b)}^{\mathrm{n}}}$

Quotient de deux puissances de même base :

$\overline{)\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{m}}}$

Quotient de deux puissances de même exposant :

$\overline{)\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}\mathrm{=}{\mathrm{\left(}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{n}}}$

Puissance d’une puissance :

$\overline{){\left(a^n\right)}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}\mathrm{\times }\mathrm{m}}}$

Exemples

III- Puissance de 10

3-1/ Propriétés

Exemples

IV- Écriture scientifique

4-1/ Définition

Exemples

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

• Calculer et simplifier les expressions suivantes :

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

$a$ et $b$ deux nombres réels non nuls tel que $a\ne 3$.

1. Simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \mathrm{A}={[1+{\left(\frac{3-\mathrm{a}}{1+\mathrm{a}}\right)}^{-1}]}^{-1}= \\ \mathrm{B}=\frac{2{\mathrm{a}}^5}{3{\mathrm{a}}^4}\times \frac{{\mathrm{a}}^{11}}{2{\mathrm{a}}^2}\times \frac{{\mathrm{a}}^3}{7{\mathrm{a}}^{-3}}= \\ \mathrm{C}=\frac{{\mathrm{a}}^{-5}\times {\mathrm{b}}^{-3}\times {\mathrm{a}}^{-2}}{{\mathrm{a}}^{-3}\times {\left({\mathrm{b}}^{-2}\right)}^3}= \\ \mathrm{D}=\frac{{\left({\mathrm{a}}^2\right)}^{-2}\times {\left({\mathrm{a}}^3\right)}^{-3}}{{\left({\mathrm{a}}^2\right)}^{-3}}= \end{gathered}$$

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

Trouver l’écriture scientifique des nombres suivants :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{=}\mathrm{2517}\mathrm{,}\mathrm{301}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{51}}\mathrm{=} \\ \mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{000069}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{23}}\mathrm{=} \\ \mathrm{ }\mathrm{c}\mathrm{=}\mathrm{113}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\mathrm{+}\mathrm{7}\mathrm{,}\mathrm{2}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{7}}\mathrm{=} \\ \mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{=}\frac{\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{5}\mathrm{\times }{\left({10}^{-3}\right)}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{\times }{\left(100\right)}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{\times }{(0,002)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}}\mathrm{\times }{(0,001)}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}\mathrm{,}\mathrm{2}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\times }\mathrm{5}\mathrm{\times }{\left({10}^2\right)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}}\mathrm{=} \\ } \end{gathered}$$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

1. Déterminer la valeur du nombre entier naturel n tel que :

$\frac{9^{2n-1}\times 3^{n+1}}{{27}^{n+3}}=81$

2. Prouver que le nombre K est un entier naturel :

$k={12}^{100}\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^{50}\times 6^{-149}$

3. Montrer que :

${333333}^2+{444444}^2={555555}^2$

4. Calculer :

$M=\frac{3^2\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-3}\times 5}{{\left({\displaystyle \frac{120}{700}}\right)}^0\times 3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-1}}$

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

1. Écrire les puissances suivantes sous forme de $a^n \left(n>0\right)$ :

2. Simplifier les expressions suivantes tel que $t\ne 0$ et $b\ne 0$ :

$$\begin{gathered} \boxed{1} A=\frac{t^2\times {\left(t^{-3}\right)}^{-4}\times t^{-3}}{t^0\times t^7} \\ \boxed{2} B=\frac{b^3\times {\left(b^7\right)}^2\times {\left(b^2\right)}^{-3}\times b^0}{b\times {\left(b^2\right)}^3\times b^{-5}} \end{gathered}$$

On considère l'expression suivante : $C=\frac{3^2\times {\left({10}^2\right)}^7\times 20\times 10000}{5\times 0,001}$

3. a- Montrer que : $C=36\times {10}^{21}$

3. b- Écrire $C$ sous forme d'une écriture scientifique

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

1. Déterminer le nombre entier relatif $x$ sachant que :

$4\left(5^x+5^{x+1}+5^{x+2}\right)=31\times {20}^x$

2. Déterminer les nombres entier naturels $a$, $b$ et $c$ tels que :

$2^a\times 3^b\times 5^c=648000$