Mathématiques : 2ème Année Collège
Séance 4 (Symétrie axiale)
Professeur : Mr BENGHANI Youssef
Sommaire
I- Symétrique d’un point
II- Symétrique d’un segment
III- Conservation de l’alignement des points
IV- Symétrique d’une demi-droite
V- Symétrique d’une droite
VI- Symétrique d’un angle
VII- Symétrique d’un cercle
IIX- Exercices
8-1/ Exercice 1
8-2/ Exercice 2
8-3/ Exercice 3
8-4/ Exercice 4
8-5/ Exercice 5
8-6/ Exercice 6
8-7/ Exercice 7
I- Symétrique d’un point
1-1/ Définition
Le symétrique d’un point A par une symétrie axiale d’axe (D) est le point A’ tel que (D) soit la médiatrice du segment [A A’].
1-2/ Exemple
- Le point A' est appelé : Le symétrique du point A par rapport à la droite (D).
- La droite (D) est appelée : Axe de symétrie.
Si le point M' est le symétrique d’un point M par rapport à une droite (D), alors M est aussi le symétrique de M' par rapport à (D).
On dit que les points M et M' sont deux points symétriques par rapport à (D).
1-3/ Remarque
Si un point A appartient à (D), alors ce point est le symétrique de lui-même par rapport à (D).
II- Symétrique d’un segment
2-1/ Propriété
Soit une droite et [AB] un segment.
Si A′ et B′ sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite (∆), alors le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite est le segment [A′B′].
On a : A′B′ = AB, on dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.
2-2/ Exemple
Par rapport à la droite on a :
- A' est le symétrique de A
- B' est le symétrique de B
Donc le segment [A’B’] est le symétrique du segment [AB].
III- Conservation de l’alignement des points
3-1/ Propriété
Les symétriques des points alignés par rapport à une droite sont aussi des points alignés.
On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement des points.
3-2/ Exemple
Par rapport à la droite on a :
- A′ est le symétrique de A
- B′ est le symétrique de B
- C′ est le symétrique de C
Puisque les points A, B, C sont alignés, alors les points A′, B′, C′ sont alignés.
IV- Symétrique d’une demi-droite
4-1/ Propriété
Soit une droite et [AB) une demi-droite.
Si A′ et B′ sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite , alors le symétrique de la demi-droite [AB) par rapport à la droite est la demi-droite [A′B′).
4-2/ Exemple
Par rapport à la droite on a :
- A′ est le symétrique de A
- B′ est le symétrique de B
Donc la demi-droite [A′B′) est le symétrique de la demi-droite [AB).
V- Symétrique d’une droite
5-1/ Propriété
Soient et (AB) deux droites.
Si A′ et B′ sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite , alors le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite est la droite (A′B′).
5-2/ Exemple
Par rapport à la droite on a :
- A′ est le symétrique de A
- B′ est le symétrique de B
Donc la droite (A′B′) est le symétrique de la droite (AB).
Donc la droite (D′) est le symétrique de la droite (D).
VI- Symétrique d’un angle
6-1/ Propriété
Soit une droite et un angle.
Si A′, O’et B′ sont les symétriques respectifs des points A, O et B par rapport à la droite , alors le symétrique de l’angle par rapport à la droite est l’angle .
On a : , on dit que la symétrie axiale conserve la mesure d’angles.
6-2/ Exemple
Par rapport à la droite on a :
- A' est le symétrique de A
- O' est le symétrique de O
- B' est le symétrique de B
Donc l’angle est le symétrique de l’angle .
VII- Symétrique d’un cercle
7-1/ Propriété
Soit une droite et (C) un cercle de centre O et de rayon r.
Si O′ est le symétrique de O par rapport à la droite , alors le symétrique du cercle (C) par rapport à la droite est le cercle (C′) de centre O′ et de même rayon r.
7-2/ Exemple
Par rapport à la droite on a :
- O′ est le symétrique de O
Donc le cercle (O;r) est le symétrique du cercle C′(O′;r).
IIX- Exercices
8-1/ Exercice 1
1) Construire avec l’équerre graduée les symétriques des points A et B par rapport à la droite (d).
2) Construire avec le compas les symétriques des points C et E par rapport à la droite (d).
IIX- Exercices
8-2/ Exercice 2
Soit la figure suivante :
1) Quel est le symétrique par rapport à la droite (d) de :
- A ? ____
- B ? ____
- C ? ____
- D ? ____
2) Quel est le symétrique par rapport à la droite (d') de :
- A ? ____
- B ? ____
- C ? ____
- D ? ____
3) Indiquer une droite non tracée sur la figure, par rapport à laquelle les points A et B sont symétriques.
IIX- Exercices
8-3/ Exercice 3
ABC est un triangle isocèle en A tel que : AC= 3 cm.
- Construire B' le symétrique de B par rapport à la droite (AC).
- Construire C' le symétrique de C par rapport à la droite (AB).
- Montrer que : AB'=AC'.
- Conclure que les points B, C, B' et C' appartiennent au même cercle. Déterminer son centre.
IIX- Exercices
8-4/ Exercice 4
ABC est un triangle tel que : , et .
Soit M le milieu du segment [BC].
E est le symétrique de B par rapport à la droite (AM).
F est le symétrique de C par rapport à la droite (AM).
- Construire la figure convenable.
- Calculer AE.
- Déterminer le symétrique de l’angle par rapport à la droite (AM). Justifier votre réponse.
- Calculer les mesures des angles du triangle AEF.
IIX- Exercices
8-5/ Exercice 5
ABCD est un quadrilatère convexe (non croisé) tel que , et I est le milieu du segment [AB].
- Construire la figure convenable.
- Construire les points A' , B' et I' les symétriques respectifs des points A, B et I par rapport à la droite (CD).
- Montrer que les points A' , B' et I' sont alignés.
- Comparer AI et A'I' ; puis BI et B'I'.
- Montrer que I' est le milieu du segment [A'B'].
- Calculer la mesure de l’angle .
IIX- Exercices
8-6/ Exercice 6
et sont les points d'intersection des cercles et tel que .
- Faire une figure.
- La droite est-elle un axe de symétrie de la figure ? justifier.
- Montrer que est le symétrique de A par rapport à la droite .
- En déduire l'axe de symétrie de la figure.
- Quelle est la symétrique de la demi-droite par rapport à la droite ?
IIX- Exercices
8-7/ Exercice 7
L’axe de symétrie de la figure suivante a été effacé :
- Retrouver l'axe de symétrie sachant que est le symétrique de par rapport à .
Soient et les symétriques respectifs de et par rapport à .
- Quelle est la nature du triangle ? Justifier.
- Déterminer, en justifiant la réponse, l'aire du triangle .