Séance 2 - Introduction aux nombres rationnels

Sommaire

I- Présentation et comparaison des nombres rationnels

1-1/ Définition d’un nombre rationnel

1-2/ Propriétés

II- Signe d’un nombre rationnel

III- Simplification d’un nombre rationnel

IV- Égalité des nombres rationnels et produits en croix

V- Le nombre rationnel et les équations

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

6-7/ Exercice 7

I- Présentation et comparaison des nombres rationnels

1-1/ Définition d’un nombre rationnel

Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif a sur un nombre entier relatif non nul b. $\mathrm{(}\mathrm{b}\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{)}$

• Le nombre est appelé nombre rationnel.
• a est appelé numérateur
• b est appelé dénominateur

Exemple

I- Présentation et comparaison des nombres rationnels

1-2/ Propriétés

• Tout nombre entier relatif est un nombre rationnel.
• Tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel.
• Tout nombre rationnel n’est pas toujours un nombre décimal ou entier relatif.

Exemple

II- Signe d’un nombre rationnel

Règle

Le nombre rationnel $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ est positif si les nombres a et b ont même signes.

Le nombre rationnel $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ est négatif si les nombres a et b ont signes contraires.

Exemple

Remarque

Si $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ est un nombre rationnel alors: $\overline{)\frac{\mathrm{-}\mathrm{a}}{\mathrm{-}\mathrm{b}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{ }\overline{)\mathrm{-}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{-}\mathrm{b}}}$

Exemple

III- Simplification d’un nombre rationnel

Règle

Si $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ est un nombre rationnel et k un nombre entier relatif non nul, alors :

$\overline{)\frac{\mathrm{a}\mathrm{\times }\mathrm{k}}{\mathrm{b}\mathrm{\times }\mathrm{k}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{ }\overline{)\frac{\mathrm{a}\mathrm{÷}\mathrm{k}}{\mathrm{b}\mathrm{÷}\mathrm{k}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}$

Exemple

IV- Égalité des nombres rationnels et produits en croix

Règle

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ et $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ désignent deux nombres rationnels.

Si $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ alors $\mathrm{a}\mathrm{\times }\mathrm{d}\mathrm{=}\mathrm{b}\mathrm{\times }\mathrm{c}$

Si $\mathrm{a}\mathrm{\times }\mathrm{d}\mathrm{=}\mathrm{b}\mathrm{\times }\mathrm{c}$ alors $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$

Exemple

V- Le nombre rationnel et les équations

Le nombre rationnel $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ est la solution de l’équation $\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{b}$ tel que a et b sont deux nombres décimaux relatifs et a non nul

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

1) Écrire chaque nombre sous forme d’un nombre rationnel dont le dénominateur est 36 :

$\overline{)\frac{\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{,}\mathrm{5}}{\mathrm{-}\mathrm{9}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{-}\mathrm{17}}{\mathrm{6}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{-}\mathrm{12}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{-}\mathrm{5}}{\mathrm{3}}}$

2) Écrire chaque nombre sous forme d’un nombre rationnel dont le numérateur est -18 :

$\overline{)\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{-}\mathrm{13}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{7}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{11}}\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{-}\mathrm{5}}}$

3) Compléter :

$$\begin{gathered} \overline{)\frac{\mathrm{-}\mathrm{21}}{\mathrm{15}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{-}\mathrm{30}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{3}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}} \\ \frac{\mathrm{6}}{\mathrm{12}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{-}\mathrm{36}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}} \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Réduire les nombres rationnels suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)\frac{\mathrm{11}\mathrm{\times }(-3)\mathrm{\times }\mathrm{7}\mathrm{\times }\mathrm{12}}{\mathrm{6}\mathrm{\times }(-7)\mathrm{\times }\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{22}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}} \\ \frac{\mathrm{2}\mathrm{\times }(-5)}{(-2)\mathrm{\times }\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}} \\ \frac{\mathrm{4}\mathrm{\times }(-5)\mathrm{\times }\mathrm{11}}{(-11)\mathrm{\times }\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{10}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}} \\ \frac{\mathrm{-}\mathrm{24}}{\mathrm{42}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}} \\ \frac{\mathrm{36}}{\mathrm{45}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}} \\ \frac{\mathrm{720}}{\mathrm{-}\mathrm{540}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}{\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}} \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Vérifier l’égalité des deux nombres rationnels :

$$\begin{gathered} \overline{)\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{4}}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ }\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}} \\ \frac{\mathrm{10}}{\mathrm{-}\mathrm{4}}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ }\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{-}\mathrm{6}} \\ \frac{\mathrm{-}\mathrm{13}}{\mathrm{18}}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ }\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{-}\mathrm{3}} \\ \frac{\mathrm{-}\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ }\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{-}\mathrm{5}} \\ \frac{\mathrm{-}\mathrm{8}}{\mathrm{6}}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ }\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{-}\mathrm{3}}} \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)\mathrm{7}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{15} \\ \mathrm{15}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{25} \\ \mathrm{-}\mathrm{12}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{8} \\ \mathrm{-}\mathrm{12}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{4}\mathrm{,}\mathrm{8} \\ \frac{\mathrm{-}\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{14}}{\mathrm{9}} \\ \mathrm{-}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{5}\mathrm{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{60}}} \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

1) Trouver le nombre rationne x qui vérifie :

$\overline{)\frac{\mathrm{2}\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{1}}{\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{+}\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}$

2) Trouver le nombre rationne y qui vérifie :

$\overline{)\frac{\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{+}\mathrm{y}}{\mathrm{3}\mathrm{-}\mathrm{y}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{-}\mathrm{2}}}$

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

Écrire le nombre convenable :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \frac{2}{3}=\frac{10}{\_\_\_}=\frac{\_\_\_}{12}=\frac{1}{\_\_\_}=\frac{\_\_\_}{0,75} \\ \overline{)2} \frac{-7}{8}=\frac{35}{\_\_\_}=\frac{\_\_\_}{-1000}=\frac{-3,5}{\_\_\_}=\frac{\_\_\_}{2} \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-7/ Exercice 7

Simplifier les écritures suivantes :

$\frac{2\times \left(-55\right)}{11\times 3\times \left(-5\right)} ; \frac{\left(-5\right)\times 7}{28\times \left(-5\right)} ; \frac{-2727}{27} ; \frac{92}{112} ; \frac{42}{-24}$