Séance 6-2-2 : Nombres complexes - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

XI- Exercices I

11-1/ Exercice 2-1

11-2/ Exercice 2-2

11-3/ Exercice 2-3

11-4/ Exercice 2-4

XI- Exercices I

11-1/ Exercice 2-1

On considère dans $\mathrm{ℂ}$ l'équation $\left(E\right)$ suivante :

$\left(E\right) : \frac{1}{2}{z}^3-\left(1+i\right)z^2+2\left(1+i\right)z-4i=0$

1. Montrer que l'équation $\left(E\right)$ admet une solution imaginaire pure $z_0$ à déterminer.

2. Résoudre dans $\mathrm{ℂ}$ l’équation$\left(E\right)$.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points :

$A\left(1+i\sqrt{3}\right) ; B\left(1-i\sqrt{3}\right) ; C\left(2i\right)$

3. Montrer que $OA=OB$.

Soit $D$ le milieu du segment $\left[AC\right]$.

4. Déterminer l’affixe du point $D$ et une mesure de l'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{OD}}\right)$.

5. En déduire les valeurs de $\cos \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)$.

Soit $O\text{'}$ l'image de point $O$ par la rotation $R_1$ de centre $A$ et d’angle $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, et $B\text{'}$ l’image de point $B$ par la rotation $R_2$ de centre $A$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

6. Déterminer les affixes des points $O\text{'}$ et $B\text{'}$.

Soit $I$ le milieu du segment $\left[OB\right]$.

7. Montrer que $\left(AI\right)$ est une hauteur du triangle $AO\text{'}B\text{'}$.

XI- Exercices I

11-2/ Exercice 2-2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

On considère dans $\mathrm{ℂ}$ l'équation suivante :

$\left(E\right) : z^2-4iz-2+2i\sqrt{3}=0$

1. Vérifier que le nombre $a=1+i\left(2-\sqrt{3}\right)$ est une solution de l’équation $\left(E\right)$.

2. En déduire $b$ la deuxième solution de $\left(E\right)$.

3. Montrer que $a^2=4\left(2-\sqrt{3}\right)e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{6}}$.

4. Écrire $a$ sous  forme trigonométrique.

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a$, $b$ et $c=2i+2e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{7}}$.

Soit $T$ le cercle de diamètre $\left[AB\right]$.

5. Déterminer $\omega$ l'affixe de $\Omega$ centre du cercle $T$.

6. Montrer que les points $O$ et $C$ appartiennent à $T$.

7. Montrer que le nombre $\frac{c-a}{c-b}$ est imaginaire pur.

XI- Exercices I

11-3/ Exercice 2-3

On considère dans $\mathrm{ℂ}$ l'équation suivante :

$\left(E\right) : z^2-\left(5+i\sqrt{3}\right)z+4+4i\sqrt{3}=0$

1. Vérifier que ${\left(3-i\sqrt{3}\right)}^2$ est le discriminant de $\left(E\right)$.

2. Déterminer $a$ et $b$ solutions de l'équation $\left(E\right)$ (sachant que $b\in \mathrm{ℝ}$).

3. Vérifier que $b=\left(1-i\sqrt{3}\right)a$.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

Soit $A$ le point d'affixe $a$, et $B$ le point d'affixe $b$.

4. Déterminer le nombre complexe $b_1$, affixe du point $B_1$, image du point $O$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

5. Montrer que $B$ est l’image de $B_1$ par l’homothétie de centre $A$ et de rapport $\sqrt{3}$.

6. Vérifier que $arg\left(\frac{b}{b-a}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{6}\left[2\mathrm{\pi }\right]$.

Soit $C$ le point, d'affixe $c$, appartenant au cercle circonscrit du triangle $OAB$ et différent de $O$ et $A$.

7. Déterminer un argument du nombre $\frac{c}{c-a}$.

XI- Exercices I

11-4/ Exercice 2-4

On considère dans $\mathrm{ℂ}$ l'équation suivante :

$\left(E\right) : z^2-\left(1+i\right)z+2+2i=0$

1. Vérifier que ${\left(1-3i\right)}^2$ est le discriminant de $\left(E\right)$.

2. Déterminer $z_1$ et $z_2$, les racines de l'équation $\left(E\right)$. (On prend $z_1$ imaginaire pur).

3. Montrer que $\frac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}.e^{i\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points $A\left(z_1\right)$ et $B\left(z_2\right)$.

4. Déterminer le nombre complexes $f$, affixe du point $F$, milieu du segment $\left[AB\right]$.

Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$.

Et soit $c$ l'affixe du point $C$, image du point $F$ par la rotation $r$.

5. Montrer que $c=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i$

Soit $D$ le point d'affixe $d=1+\frac{3}{2}i$.

6. Montrer que le nombre $\left(\frac{z_2-d}{c-d}\right)\times \left(\frac{c-z_1}{z_2-z_1}\right)$ est réel, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.