Séance 6-1-2 : Nombres complexes - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

VII- Exercices I

7-1/ Exercice 1-1

7-2/ Exercice 1-2

7-3/ Exercice 1-3

7-4/ Exercice 1-4

VII- Exercices I

7-1/ Exercice 1-1

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant :

$Z=\left(1+i\right){\left(\frac{2+i}{1-i}\right)}^2-\left(1+3i\right)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)+6$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℂ}$ les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \left(E_1\right) \left(-1+4i\right)z+\left(1-2i\right)=iz+3 \\ \left(E_2\right) \frac{1+3iz}{1+3z}=i\frac{z+2}{z-5} \end{gathered}$$

3. Résoudre dans ${\mathrm{ℂ}}^2$ les systèmes suivants :

$$\begin{gathered} \left(S_1\right) : \left\{\begin{array}{l}2iz+3z\text{'}=i\\ iz+z\text{'}=2\end{array}\right. \\ \left(S_2\right) : \left\{\begin{array}{l}3z-2z\text{'}=-11\\ iz+\left(1+i\right)z\text{'}=3\left(4-i\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

4. Montrer que l'ensemble des nombres complexes $z$ pour lesquels $\frac{iz}{z-2}$ est réel est :

$E=\left\{x+iy/{\left(x-1\right)}^2+y^2=1 et \left(x;y\right)\ne \left(2;0\right)\right\}$

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe tel que $\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$

5. Déterminer tous les nombres complexes $z$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} i{z}^2\in \mathrm{ℝ} \\ \overline{)2} z^2+z+1\in \mathrm{ℝ} \\ \overline{)3} \frac{1-iz}{1+z}\in i\mathrm{ℝ} \\ \overline{)4} \frac{z-1}{iz}\in i\mathrm{ℝ} \\ \overline{)5} \frac{3+iz}{\left(1+i\right)z-1}\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

VII- Exercices I

7-2/ Exercice 1-2

1. Déterminer le module de chacun des nombres suivants :

Soit $u$ un nombre complexe tel que $\left|u\right|=1$ et $u\ne 1$.

2. Montrer que $Re\left(\frac{1}{1-u}\right)=\frac{1}{2}$

3. Montrer que si $z\in \mathrm{ℂ}\setminus \mathrm{ℝ}$, alors $\frac{z-u\overline{z}}{1-u}$ est réel.

VII- Exercices I

7-3/ Exercice 1-3

1. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

VII- Exercices I

7-4/ Exercice 1-4

1. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

$$\begin{gathered} z_1=1+\cos \alpha +i\sin \alpha ; \left(\mathrm{\pi }<\mathrm{\alpha }<2\mathrm{\pi }\right) \\ {z}_2=\cos \alpha +i\left(1+\sin \alpha \right) ; \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\mathrm{\alpha }<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ {z}_3=\frac{\left(1-i\sqrt{3}\right)\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)}{\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)+i\left(\cos \alpha -\sin \alpha \right)} ; \left(\mathrm{\alpha }\in \mathrm{ℝ}\right) \\ {z}_4=\frac{1+i\tan \alpha }{1-i\tan \alpha } ; \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\mathrm{\alpha }<\mathrm{\pi }\right) \end{gathered}$$