Séance 6 - Trigonométrie

Sommaire

I- Formules de transformations de $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$ et $\tan (a\pm b)$

1-1/ Transformations de $\sin (a\pm b)$ et $\cos (a\pm b)$

1-2/ Transformations de $\tan (a\pm b)$

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

2-2/ Transformations des produits à des sommes

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de $a\cos x+b\sin x$

3-2/ Transformations de $\sin x$, $\cos x$ et $\tan x$ en fonction de $t=\tan \frac{x}{2}$

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}/\cos x=a$

4-2/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}/\sin x=a$

4-3/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}/\tan x=a$

4-4/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}/a\cos x+b\cos x=c$

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

I- Formules de transformations de $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$ et $\tan (a\pm b)$

1-1/ Transformations de $\sin (a\pm b)$ et $\cos (a\pm b)$

Formules

$$\begin{gathered} \cos \left(a+b\right)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(a\right)\sin \left(b\right) \\ \cos \left(a-b\right)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(b\right) \\ \sin \left(a+b\right)=\sin \left(a\right)\cos \left(b\right)+\cos \left(a\right)\sin \left(b\right) \\ \sin \left(a+b\right)=\sin \left(a\right)\cos \left(b\right)-\cos \left(a\right)\sin \left(b\right) \end{gathered}$$

Conséquences

Si $a=b$ on obtient : $\sin 2a=2\sin a\cos a$ et $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$

D’après ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$, on obtient $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$ et ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

Exemple

I- Formules de transformations de $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$ et $\tan (a\pm b)$

1-2/ Transformations de $\tan (a\pm b)$

Soient $a,b\in \mathrm{ℝ}$ tel que $a\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ et $a+b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ et $a-b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

On a :

$$\begin{gathered} \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\times \tan b} \\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\times \tan b} \\ \tan \left(2a\right)=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a} \end{gathered}$$

Exemple

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

$$\begin{gathered} \cos a+\cos b=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \cos a-\cos b=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \sin a+\sin b=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \sin a-\sin b=-2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left(\frac{a-b}{2}\right) \end{gathered}$$

Exemple

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-2/ Transformations des produits à des sommes

$$\begin{gathered} \cos a\times \cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right] \\ \sin a\times \sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)-\cos \left(a-b\right)\right] \\ \sin a\times \cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right] \end{gathered}$$

Exemple

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de $a\cos x+b\sin x$

Soient $a,b\in \mathrm{ℝ}*$.

On a :

$a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\times \sin \left(x+\alpha \right)$ avec $\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\cos \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\times \cos \left(x-\alpha \right)$ avec $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Exemple

III- Autres formules de transformations

3-2/ Transformations de $\sin x$, $\cos x$ et $\tan x$ en fonction de $t=\tan \frac{x}{2}$

On pose $t=\tan \frac{x}{2}$ avec $x\ne \mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }$ et $x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi }$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

On a :

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ; \sin x=\frac{2t}{1+t^2} ; \cos x=\frac{2t}{1-t^2}$

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}/\cos x=a$

$a$ est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation $x\in \mathrm{ℝ}/\cos x=a$.

Si $a\in ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$, alors $S=\varnothing$ (pas de solution)

Si $a\in \left[-1,1\right]$, on cherche $\alpha$ tel que $a=\cos \alpha$, d’où :

$\cos x=a\iff \cos x=\cos \alpha \iff \left\{\begin{array}{l}x=\alpha +2k\mathrm{\pi }\\ x=-\alpha +2k\mathrm{\pi }\end{array}\right.; k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

$S=\left\{\alpha +2k\mathrm{\pi },-\mathrm{\alpha }+2\mathrm{k\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

Cas particuliers

Si $a=1$, on a $S=\left\{2k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Si $a=-1$, on a $S=\left\{\mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Si $a=0$, on a $S=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-2/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}/\sin x=a$

$a$ est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation $x\in \mathrm{ℝ}/\sin x=a$.

Si $a\in ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$, alors $S=\varnothing$ (pas de solution)

Si $a\in \left[-1,1\right]$, on cherche $\alpha$ tel que $a=\sin \alpha$, d’où :

$\sin x=a\iff \sin x=\sin \alpha \iff \left\{\begin{array}{l}x=\alpha +2k\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\alpha +2k\mathrm{\pi }\end{array}\right.; k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

$S=\left\{\alpha +2k\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }+2\mathrm{k\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

Cas particuliers

Si $a=1$, on a $S=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Si $a=-1$, on a $S=\left\{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Si $a=0$, on a $S=\left\{k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-3/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}/\tan x=a$

$a$ est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}/\tan x=a$.

On cherche $\alpha$ tel que $a=\tan \alpha$, d’où :

$\tan x=a\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\mathrm{\pi }; k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

$S=\left\{\alpha +k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-4/ Équation de la forme $x\in \mathrm{ℝ}/a\cos x+b\cos x=c$

Pour résoudre l’équation suivante $\left(E\right):x\in \mathrm{ℝ}/a\cos x+b\cos x=c$, on suit les étapes suivantes :

Étape 1

On écrit l’équation sous la forme suivante :

$\left(E\right)\iff \sqrt{a^2+b^2}\left[\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x\right]=c$

Puis on l’écrit :

$$\begin{gathered} \left(E\right)\iff \sqrt{a^2+b^2}\left[\cos \alpha \cos x+\sin \alpha \sin x\right]=c \\ ou \\ \left(E\right)\iff \sqrt{a^2+b^2}\left[\sin \alpha \cos x+\cos \alpha \sin x\right]=c \end{gathered}$$

Puis on l’écrit :

$$\begin{gathered} \cos \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ ou \\ \sin \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gathered}$$

Étape 2

Au lieu de résoudre l’équation $\left(E\right):x\in \mathrm{ℝ}/a\cos x+b\cos x=c$, on résout l’équation :

$$\begin{gathered} \cos \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ ou \\ \sin \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gathered}$$

Étape 3

Ensemble de solution de l’équation est lié à la valeur de $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Si $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\notin \left[-1,1\right]$, l’équation n’a pas de solution : $S=\varnothing$

Si $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\in \left[-1,1\right]$, on cherche $\beta$ tel que $\cos \beta =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (ou $\sin \beta =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$)

D’où :

$$\begin{gathered} \left(E\right)\iff \cos \left(x-\alpha \right)=\cos \beta \\ ou \\ \left(E\right)\iff \sin \left(x+\alpha \right)=\sin \beta \end{gathered}$$

Exemple

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

1. Transformer en produit les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A\left(x\right)=\cos x+\cos 3x \\ B\left(x\right)=\cos 2x+\cos 4x \end{gathered}$$

2. En déduire que :

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=4.\cos x.\cos \left(\frac{x}{2}\right).\cos \left(\frac{5x}{2}\right)$

3. Montrer que :

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=4.\cos x.\cos \left(\frac{x}{2}\right).\sin \left(\frac{5x}{2}\right)$

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

On considère l’expression suivante : $A\left(x\right)=4\sqrt{3}{\cos }^{4}x+\sqrt{3}{\sin }^2\left(2x\right)-2\sin \left(2x\right) ; \left(x\in \mathrm{ℝ}\right)$

1. Montrer que : $4{\cos }^{4}x=4{\cos }^{2}x-{\sin }^2\left(2x\right)$

2. En déduire que : $A\left(x\right)=4\cos x.\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)$

3. Montrer que : $A\left(x\right)=8\cos x.\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

4. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation : $A\left(x\right)=0$

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation : $\left(E_1\right) : \cos x+\sqrt{3}\sin x=-1$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation : $\left(E_2\right) : \sqrt{3}\cos \left(2x\right)-\sin \left(2x\right)=-\sqrt{2}$

3. Résoudre dans $\left[-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$ l’inéquation : $\sqrt{3}\cos x-\sin x\le -\sqrt{2}$

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, on pose : $A\left(x\right)=\sqrt{3}\sin \left(4x\right)-8{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x$

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation : $2\cos x-1=0$

2. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : 1-\cos \left(4x\right)=8{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x$

3. En déduire que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : A\left(x\right)=2\cos \left(4x-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)-1$

4. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation : $A\left(x\right)=0$

5. Résoudre dans l’intervalle $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right]$ l’inéquation : $A\left(x\right)\le 0$