Séance 5 - Les suites numériques

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 5 (Les suites numériques)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Généralités sur les suites

1-1/ Définition

1-2/ Vocabulaire

II- Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

III- Monotonie d’une suite

3-1/ Définitions

3-2/ Propriétés

IV- Suite arithmétique

4-1/ Définition

4-2/ Formule du terme général d’une suite arithmétique

4-3/ Somme des n premier termes d’une suite arithmétique

V- Suite géométrique

5-1/ Définition

5-2/ Formule du terme général d’une suite géométrique

5-3/ Somme des n premier termes d’une suite géométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Généralités sur les suites

1-1/ Définition

$I$ est une partie de $ℕ$ .

Toute application $u$ de $I$ vers $ℝ$ s’appelle suite numérique : $u : I \to ℝ n \mapsto u (n)$

On note simplement la suite par ${(u_{n})}_{n \in I}$ .

Exemple

1-2/ Vocabulaire

$u_{n}$ s’appelle le terme général de la suite.

$u_{n_{0}}$ s’appelle le premier terme de la suite avec $n_{0}$ est le plus petit élément de $I$ .

Le nombre $u_{n_{0}} + u_{n_{0} + 1} + . . . + u_{n}$ s’appelle la somme des $(n - n_{0} + 1)$ premiers termes de la suite.

II- Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

Définition

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite numérique, $M$ et $m$ de $ℝ$ .

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite majorée par $M$ équivaut à $\forall n \geq n_{0}; u_{n} \leq M$ (ou encore $\forall n \geq n_{0}; u_{n} < M$ ).

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite minorée par $m$ équivaut à $\forall n \geq n_{0}; u_{n} \geq m$ (ou encore $\forall n \geq n_{0}; u_{n} > m$ ).

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite bornée équivaut à $(u_{n})$ est une suite majorée et minorée.

Exemple

III- Monotonie d’une suite

3-1/ Définitions

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite numérique.

La suite est croissante équivaut à $\forall n \geq n_{0}, \forall n' \geq n_{0} : n > n' \Rightarrow u_{n} \geq u_{n'}$ .

La suite est strictement croissante équivaut à $\forall n \geq n_{0}, \forall n' \geq n_{0} : n > n' \Rightarrow u_{n} > u_{n'}$ .

La suite est décroissante équivaut à $\forall n \geq n_{0}, \forall n' \geq n_{0} : n > n' \Rightarrow u_{n} \leq u_{n'}$ .

La suite est strictement décroissante équivaut à $\forall n \geq n_{0}, \forall n' \geq n_{0} : n > n' \Rightarrow u_{n} < u_{n'}$ .

La suite est constante équivaut à $\forall n \geq n_{0}, \forall n' \geq n_{0} : u_{n} = u_{n'}$ .

3-2/ Propriétés

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite numérique.

La suite est croissante équivaut à $\forall n \geq n_{0} : u_{n + 1} \geq u_{n}$ .

La suite est strictement croissante équivaut à $\forall n \geq n_{0} : u_{n + 1} > u_{n}$ .

La suite est décroissante équivaut à $\forall n \geq n_{0} : u_{n + 1} \leq u_{n}$ .

La suite est strictement décroissante équivaut à $\forall n \geq n_{0} : u_{n + 1} < u_{n}$ .

La suite est constante équivaut à $\forall n \geq n_{0} : u_{n + 1} = u_{n}$ .

IV- Suite arithmétique

4-1/ Définition

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite numérique, $r \in ℝ *$

La suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_{0}}$ équivaut à $\forall n \geq n_{0}; u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

Exemple

4-2/ Formule du terme général d’une suite arithmétique

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_{0}}$ .

On a $\forall n \geq n_{0}; u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r$ .

On a $\forall p, q \geq n_{0}; u_{q} = u_{p} + (q - p) r$ .

Exemple

4-3/ Somme des n premier termes d’une suite arithmétique

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_{0}}$ et $n_{0} \leq p \leq n$

On a $S_{n} = {\sum u_{i}}_{i = p}^{n} = u_{p} + u_{p + 1} + u_{p + 2} + . . . + u_{n} = [\frac{u_{n} + u_{p}}{2}] (n - p + 1)$ .

Ou encore $S_{n} = \frac{1 e r t e r m e + d e r n i e r t e r m e}{2} \times n o m b r e d e t e r m e s$

Exemple

V- Suite géométrique

5-1/ Définition

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite numérique, $q \in ℝ *$

La suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_{0}}$ équivaut à $\forall n \geq n_{0}; u_{n + 1} = u_{n} \times q$ .

Exemple

5-2/ Formule du terme général d’une suite géométrique

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_{0}}$ .

On a $\forall n \geq n_{0}; u_{n} = u_{n_{0}} \times q^{(n - n_{0})}$ .

On a $\forall p, h \geq n_{0}; u_{h} = u_{p} \times q^{(h - p)}$ .

Exemple

5-3/ Somme des n premier termes d’une suite géométrique

${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_{0}}$ et $n_{0} \leq p \leq n$

Si $q \neq 1$ , on a $S_{n} = {\sum u_{i}}_{i = p}^{n} = u_{p} + u_{p + 1} + u_{p + 2} + . . . + u_{n} = u_{p} \times [\frac{q^{(n - p + 1)} - 1}{q - 1}]$ .

Si $q = 1$ , on a $S_{n} = {\sum u_{i}}_{i = p}^{n} = u_{p} + u_{p + 1} + u_{p + 2} + . . . + u_{n} = u_{p} (n - p + 1)$ .

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soit $(U_{n})$ la suite définie par :

$\{\begin{cases} (\forall n \in ℕ *) U_{n + 1} = \frac{n + 1}{4 n} U_{n} \\ U_{1} = \frac{1}{4} \end{cases}$

et ${(V_{n})}_{n \in ℕ *}$ la suite définie par :

$(\forall n \in ℕ *) V_{n} = \frac{U_{n}}{n}$

Calculer $U_{2}$ , $U_{3}$ , $U_{4}$ et $U_{5}$ .

Calculer $V_{1}$ , $V_{2}$ , $V_{3}$ , $V_{4}$ et $V_{5}$ .

6-2/ Exercice 2

Soit $(U_{n})$ la suite définie par $U_{n} = \frac{3 n - 2}{4 n + 1}$ .

Montrer que la suite $(U_{n})$ est majoré par $\frac{3}{4}$ .

Montrer que la suite $(U_{n})$ est minorée par $- 2$ .

6-3/ Exercice 3

Soit $(U_{n})$ la suite définie par $U_{n} = 6 n + 3$ .

Calculer $U_{0}$ , $U_{1}$ et $U_{2}$ .

Montrer que la suite $(U_{n})$ est arithmétique.

6-4/ Exercice 4

Soit ${(U_{n})}_{n \geq 1}$ la suite définie par :

$\{\begin{cases} U_{n + 1} = \frac{1}{5} U_{n} + 4 \\ U_{1} = 4 \end{cases}$

Déterminer $U_{2}$ et $U_{3}$ .

Montrer par récurrence que $(\forall n \in ℕ *) : U_{n} < 5$ .

Montrer que la suite $(U_{n})$ est croissante, en déduire qu’elle est bornée.

Soit ${(V_{n})}_{n \geq 1}$ la suite définie par $V_{n} = U_{n} - 5$ .

Montrer que la suite ${(V_{n})}_{n \geq 1}$ est géométrique, et déterminer sa raison $q$ et son premier terme.

Déterminer $V_{n}$ en fonction de $n$ , en déduire $U_{n}$ en fonction de $n$ .

Calculer les sommes suivantes :

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} V_{i} = V_{1} + V_{2} + . . . + V_{n} T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} U_{i} = U_{1} + U_{2} + . . . + U_{n}$

6-5/ Exercice 5

Soit ${(U_{n})}_{n \geq 1}$ la suite définie par :

$\{\begin{cases} U_{1} = 2 \\ U_{n + 1} = \frac{5 U_{n} + 3}{U_{n} + 3} \end{cases}$

Déterminer $U_{2}$ et $U_{3}$ .

Montrer par récurrence que $(\forall n \in ℕ *) : 0 \leq U_{n} \leq 3$ .

Étudier la monotonie de la suite ${(U_{n})}_{n \geq 1}$ .

Soit ${(V_{n})}_{n \geq 1}$ la suite définie par $V_{n} = \frac{U_{n} - 3}{U_{n} + 1}$ .

Montrer que la suite ${(V_{n})}_{n \geq 1}$ est géométrique, et déterminer sa raison $q$ et son premier terme.

Déterminer $V_{n}$ en fonction de $n$ , en déduire $U_{n}$ en fonction de $n$ .

alculer la somme suivante en fonction de $n$ :

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} V_{i} = V_{1} + V_{2} + . . . + V_{n}$

6-6/ Exercice 6

Soit $(U_{n})$ la suite définie par :

$\{\begin{cases} U_{0} = 2 \\ U_{n + 1} = \frac{2}{3} U_{n} - \frac{1}{3} \end{cases}$

Soit $(V_{n})$ la suite définie par :

$(\forall n \in ℕ) : V_{n} = U_{n} - α (α \in ℝ)$ .

Déterminer le nombre $α$ pour lequel la suite $(V_{n})$ est géométrique.

Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} V_{i} = V_{1} + V_{2} + . . . + V_{n}$ .

Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} U_{i} = U_{1} + U_{2} + . . . + U_{n}$ .

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I- Généralités sur les suites

1-1/ Définition

1-2/ Vocabulaire

II- Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

III- Monotonie d’une suite

3-1/ Définitions

3-2/ Propriétés

IV- Suite arithmétique

4-1/ Définition

4-2/ Formule du terme général d’une suite arithmétique

4-3/ Somme des n premier termes d’une suite arithmétique

V- Suite géométrique

5-1/ Définition

5-2/ Formule du terme général d’une suite géométrique

5-3/ Somme des n premier termes d’une suite géométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Généralités sur les suites

1-1/ Définition

Exemple

I- Généralités sur les suites

1-2/ Vocabulaire

II- Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

Définition

Exemple

III- Monotonie d’une suite

3-1/ Définitions

III- Monotonie d’une suite

3-2/ Propriétés

IV- Suite arithmétique

4-1/ Définition

Exemple

IV- Suite arithmétique

4-2/ Formule du terme général d’une suite arithmétique

Exemple

IV- Suite arithmétique

4-3/ Somme des n premier termes d’une suite arithmétique

Exemple

V- Suite géométrique

5-1/ Définition

Exemple

V- Suite géométrique

5-2/ Formule du terme général d’une suite géométrique

Exemple

V- Suite géométrique

5-3/ Somme des n premier termes d’une suite géométrique

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

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