Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM
Séance 3 (Le barycentre dans le plan)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Barycentre de deux points pondérés
1-1/ Définition
1-2/ Propriétés
II- Barycentre de trois points pondérés
2-1/ Définition
2-2/ Propriétés
III- Barycentre de quatre points pondérés
3-1/ Définition
3-2/ Propriétés
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
4-2/ Exercice 2
4-3/ Exercice 3
4-4/ Exercice 4
4-5/ Exercice 5
4-6/ Exercice 6
I- Barycentre de deux points pondérés
1-1/ Définition
Soient (A,a) et (B,b) deux points pondérés du plan (P), tel que A≠B et a,b∈ℝ.
Si a+b≠0 alors il existe un point unique G de (P) tel que : a→GA+b→GB=→0.
Le point G s’appelle barycentre du système pondéré S={(A,a),(B,b)} (ou encore barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b)).
Démonstration
I- Barycentre de deux points pondérés
1-2/ Propriétés
Invariance
Si G est barycentre du système pondéré S={(A,a),(B,b)}, alors pour tout k de ℝ* on a aussi G est barycentre du système pondéré {(A,ka),(B,kb)}.
Le barycentre de deux points pondérés ne change pas si on multiplie leurs poids (ou coefficients) par
le même réel non nul.
I- Barycentre de deux points pondérés
1-2/ Propriétés
Propriété caractéristique
G est barycentre du système pondéré S={(A,a),(B,b)} si et seulement si a+b≠0 et ∀M∈(P) : a→MA+b→MB=(a+b)→MG.
Les points A et B et G sont alignés et →AG=ba+b→AB.
I- Barycentre de deux points pondérés
1-2/ Propriétés
Cordonnées du point G barycentre de S={(A,a),(B,b)}
Le plan (P) est rapporté au repère (O,→i,→j).
A(xA,yA) et B(xB,yB) et G(xG,yG) sont des points de (P).
Si le point G est le barycentre de S={(A,a),(B,b)}, alors on a xG=axA+bxBa+b et yG=ayA+byBa+b.
II- Barycentre de trois points pondérés
2-1/ Définition
Soient (A,a) et (B,b) et (C,c) trois points pondérés du plan (P), tel que a,b,c∈ℝ.
Si a+b+c≠0, alors il existe un point unique G de (P) qui vérifie : a→GA+b→GB+c→GC=→0.
Le point G s’appelle barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c)} (ou encore barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b) et (C,c)).
Si a=b=c≠0, alors le point G s’appelle isobarycentre des points A et B et C ou le centre de gravité du triangle ABC.
II- Barycentre de trois points pondérés
2-2/ Propriétés
Invariance
Si G est barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c)}, alors pour tout k de ℝ* on a aussi G est barycentre du système pondéré {(A,ka),(B,kb),(C,kc)}.
Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie leurs poids (ou coefficients) par le même réel non nul.
II- Barycentre de trois points pondérés
2-2/ Propriétés
Propriété caractéristique
G est barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c)} si et seulement si a+b+c≠0 et ∀M∈(P) : a→MA+b→MB+c→MC=(a+b+c)→MG.
II- Barycentre de trois points pondérés
2-2/ Propriétés
Associativité du barycentre ou barycentre partiel
Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on remplace deux points du système par leur barycentre avec un poids qui est la somme de leur poids (ou avec un coefficient qui est la somme de
leur coefficients).
Ou encore G2 est barycentre de {(A,a),(B,b)} avec a+b≠0, et on a G est barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c)}, alors G est barycentre de {(G2,a+b),(C,c)}.
Démonstration
II- Barycentre de trois points pondérés
2-2/ Propriétés
Cordonnées du point G barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c)}
Le plan (P) est rapporté au repère (O,→i,→j).
A(xA,yA) et B(xB,yB) et C(xC,yC) et G(xG,yG) sont des points de (P).
Si le point G est le barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c)}, alors on a :
xG=axA+bxB+cxCa+b+c
yG=ayA+byB+cyCa+b+c.
III- Barycentre de quatre points pondérés
3-1/ Définition
Soient (A,a) et (B,b) et (C,c) et (D,d) trois points pondérés du plan (P), tel que a,b,c,d∈ℝ.
Si a+b+c+d≠0, alors il existe un point unique G de (P) qui vérifie : a→GA+b→GB+c→GC+d→GD=→0.
Le point G s’appelle barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)} (ou encore barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b) et (C,c) et (D,d)).
Si a=b=c=d≠0, alors le point G s’appelle isobarycentre des points A et B et C et D, ou le centre de gravité du quadrilatère ABCD.
III- Barycentre de quatre points pondérés
3-2/ Propriétés
Invariance
Si G est barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)}, alors pour tout k de ℝ* on a aussi G est barycentre du système pondéré {(A,ka),(B,kb),(C,kc),(D,kd)}.
Le barycentre de quatre points pondérés ne change pas si on multiplie leurs poids (ou coefficients) par le même réel non nul.
III- Barycentre de quatre points pondérés
3-2/ Propriétés
Propriété caractéristique
G est barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)} si et seulement si a+b+c+d≠0 et ∀M∈(P) : a→MA+b→MB+c→MC+d→MD=(a+b+c+d)→MG.
III- Barycentre de quatre points pondérés
3-2/ Propriétés
Associativité du barycentre ou barycentre partiel
Le barycentre de quatrepoints pondérés ne change pas si on remplace deux points ou trois points du système par leur barycentre avec un poids qui est la somme de leur poids (ou avec un coefficient qui est la somme de
leur coefficients).
Ou encore G1 est barycentre de {(A,a),(B,b)} avec a+b≠0, et G2 est barycentre de {(C,c),(D,d)} avec c+d≠0.
On a G est barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)}, alors G est barycentre de {(G1,a+b),(G2,c+d)}.
III- Barycentre de quatre points pondérés
3-2/ Propriétés
Cordonnées du point G barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)}
Le plan (P) est rapporté au repère (O,→i,→j).
A(xA,yA) et B(xB,yB) et C(xC,yC) et D(xD,yD) et G(xG,yG) sont des points de (P).
Si le point G est le barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)}, alors on a :
xG=axA+bxB+cxC+dxDa+b+c+d
yG=ayA+byB+cyC+dyDa+b+c+d
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
Soit A et B deux points et .
- Déterminer les valeurs de pour que les deux points pondérés et admettent un barycentre .
- Écrire une relation entre et dans ce cas.
- Construire le point dans le cas où .
IV- Exercices
4-2/ Exercice 2
Soient et deux points distincts, est le milieu du segment et le barycentre de et .
1)Déterminer l’ensemble :
2)Déterminer l’ensemble :
IV- Exercices
4-3/ Exercice 3
Soit le barycentre de et , et deux points tels que : et .
- Montrer que est le barycentre de et .
- En déduire que les deux droites et sont sécantes en un points qu’on déterminera.
IV- Exercices
4-4/ Exercice 4
Soit un triangle et soit le barycentre des points , et .
- Montrer que .
- Construire le point .
- Construire le point définie par cette relation : .
- Montrer que est le barycentre de et .
- Montrer que les points , et sont alignés.
Soit un point tel que est le milieu du segment .
- Montrer que est le barycentre des points et .
- Montrer que G est le barycentre des points et .
- Déduire que les deux droits et sont sécantes en un point qu’on déterminera.
- Déterminer l’ensemble .
IV- Exercices
4-5/ Exercice 5
Soient le barycentre des points et et le barycentre des points et .
- Construire les points et .
- Déterminer l’ensemble .
- Construire le point le barycentre des points , , et .
IV- Exercices
4-6/ Exercice 6
Soient , et des points du plan et le barycentre des points , et , où .
- Montrer que existe pour tout .
- Construire et .
Soit un point tel que :
- Déterminer la valeur de pour que les points et et soient alignés.
- Déterminer l’ensemble des points .