Mathématiques : Tronc Commun
Séance 6 (La droite dans le plan)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan
1-1/ Base d’un plan – Repère d’un plan
1-2/ Coordonnées d’un point du plan
1-3/ Coordonnées de la somme de deux vecteurs – Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel
II- Déterminant de deux vecteurs
III- Condition de colinéarité de deux vecteurs
IV- Norme d’un vecteur - Distance entre deux points
V- Vecteur directeur d’une droite
VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite
6-1/ Représentation paramétrique d’une droite
6-2/ Équation cartésienne d’une droite
6-3/ Étude de l’ensemble des points {M(x,y)/ax+by+c=0}
VII- Droites parallèles dans le plan
IIX- Exercices
8-1/ Exercice 1
8-2/ Exercice 2
8-3/ Exercice 3
8-4/ Exercice 4
I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan
1-1/ Base d’un plan – Repère d’un plan
Définition
Soient O, I et J trois points non alignés du plan (P),
on pose →OI=→i et →OJ=→j
- le triplet (O,→i,→j) est appelé repère du plan (P)
- le point O est appelé l’origine du repère.
- Le couple (→i,→j) est appelé une base du plan (P).
- la droite (OI) s’appelle l’axe des abscisses.
- la droite (OJ) s’appelle l’axe des ordonnés.
- Si (OI)⊥(OJ), alors le repère (O,→i,→j) est un repère orthogonal
- Si (OI)⊥(OJ) et ||→i||=||→j||=1, alors le repère (O,→i,→j) est un repère orthonormé .
Exemples
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I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan
1-2/ Coordonnées d’un point du plan
Le plan (P) est rapporté au repère (O,→i,→j).
- Pour tout point M du plan (P), il existe un et un seul couple (x,y)∈ℝ×ℝ tel que →OM=x→i+y→j.
Le couple (x,y) est appelé couple des coordonnées du point M.
Le nombre x est appelé abscisse du point M.
Le nombre y est appelé ordonnée du point M.
Ot on écrit M(x,y) ou M(xy).
- Pour tout vecteur →u du plan (P), il existe un seul couple (x,y)∈ℝ×ℝ tel que →u=x→i+y→j
Le couple (x,y) est appelé couple des coordonnées du vecteur →u.
Le nombre x est appelé abscisse du vecteur →u.
Le nombre y est appelé ordonnée du vecteur →u.
Ot on écrit →u(x,y) ou →u(xy)
I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan
1-3/ Coordonnées de la somme de deux vecteurs – Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel
Le plan (P) est rapporté au repère (O,→i,→j).
→u(xy) et →v(x'y') sont deux vecteurs de (P).
A(xA,yA) et B(xB,yB) et I(xI,yI) sont des points de (P) et α∈ℝ
On a :
- Le vecteur →u+→v a pour coordonnées (x+x'y+y'). on note →u+→v(x+x',y+y').
- Le vecteur α→u a pour coordonnées (αxαy). on note α→u(αx,αy).
- Le vecteur →AB a pour coordonnées , on note
- est le milieu du segment , on a et .
Exemple
II- Déterminant de deux vecteurs
Le plan est rapporté au repère .
et sont deux vecteurs de .
Le nombre est appelé le déterminant des vecteurs et .
On note :
Exemple
III- Condition de colinéarité de deux vecteurs
et sont deux vecteurs de rapporté au repère .
et sont colinéaires équivaut à
Exemple
IV- Norme d’un vecteur - Distance entre deux points
Le plan est rapporté au repère orthonormé .
est un vecteur de .
et sont deux points de .
On a :
La norme (ou la longueur) du vecteur est :
La distance entre A et B est :
Exemple
V- Vecteur directeur d’une droite
Définition
Soit une droite passant par et
Tout vecteur non nul et colinéaire avec le vecteur est appelé vecteur directeur de la droite .
et on note : ou ou .
Exemple
VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite
6-1/ Représentation paramétrique d’une droite
Définition
Soit une droite du plan qui est rapporté au repère tel que et .
L’écriture est appelée représentation paramétrique de la droite .
Exemple
VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite
6-2/ Équation cartésienne d’une droite
Définition
Le plan est rapporté à un repère .
Toute droite du plan a une équation de la forme avec et vecteur directeur de la droite .
L’écriture est appelée équation cartésienne de la droite avec vecteur directeur de la droite .
Exemple
VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite
6-3/ Étude de l’ensemble des points
Définition
Le plan est rapporté à un repère .
avec .
l’ensemble des points de qui vérifient est la droite passant par le point si (ou si ) et qui a comme vecteur directeur.
Exemple
VII- Droites parallèles dans le plan
Propriété
Le plan est rapporté à un repère .
et sont deux droites de tel que et .
équivaut à ou .
et sont deux droites de tel que et .
équivaut à .
Exemple
IIX- Exercices
8-1/ Exercice 1
On considère les points suivants : , et .
- Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : , et .
- Calculer les distances suivantes : , et .
- Déterminer les coordonnées des vecteurs suivantes : et .
- Déterminer les coordonnées des vecteurs suivantes et .
- Déterminer les coordonnées du point le milieu du segment .
Soient et deux vecteurs.
- Déterminer et pour que .
IIX- Exercices
8-2/ Exercice 2
On considère les points et et la droite d’équation cartésienne .
- Montrer que .
- Donner une équation cartésienne de la droite passant par et dirigées par le vecteur .
- Montrer que et sont sécantes en .
Soit un point du plan.
- Déterminer le nombre pour que le quadrilatère soit un parallélogramme.
IIX- Exercices
8-3/ Exercice 3
Soient , et trois vecteurs du plan.
- Étudier la colinéarité de et .
- Déterminer la valeur du nombre pour que et soient colinéaires.
- Déterminer la valeur du nombre pour que et soient colinéaires.
On considère les points suivants : , , et .
- Montrer que et sont colinéaires.
- Étudier l’alignement des points , , et dans les cas suivants :
- , et .
- , et .
IIX- Exercices
8-4/ Exercice 4
- Étudier la position relative de et dans les cas suivants :