Séance 9 - Trigonométrie 1 (Règles du calcul trigonométrique)

Sommaire

I- Cercle trigonométrique

1-1/ Définition

1-2/ Remaque 

1-3/ Abscisses curvilignes

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-1/ Radian – grade

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

III- Lignes trigonométriques du réel $x$

IV- Signe de $\sin x$ et $\cos x$ et $\tan x$

4-1/ Quadrant d’un cercle

4-2/ Signes des lignes trigonométriques

4-3/ Angles remarquables

V- Relations entre les angles

5-1/ Angles opposés

5-2/ Angles supplémentaires

5-3/ Angles opposés supplémentaires

5-4/ Angles complémentaires

5-5/ Angles opposés complémentaires

5-6/ Résumé des formules précédentes

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

I- Cercle trigonométrique 

1-1/ Définition : 

Tout cercle $\left(C\right)$ du plan (P) tel que :

• que son rayon est $r=1$.
• qui est muni d’un origine $I$.
• qui est orienté positif ( qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles du montre ).

Ce cercle $\left(C\right)$ est appelé cercle trigonométrique.

Si tous les cercles du plan sont orientés d’une orientation positive, on dit que le plan est orienté positif (ou direct).

I- Cercle trigonométrique 

1-2/ Remarque 

Si le plan est rapporté a un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ et $O$ est le centre du cercle $\left(C\right)$ et le point $J$ est placé dans le sens positif, on dit que le cercle trigonométrique $\left(C\right)$ est lié au repère orthonormé $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})=(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (avec $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$).

Pour tout le cours : le cercle $\left(C\right)$ est le cercle trigonométrique d’origine $I$ et son centre est le point $O$.

I- Cercle trigonométrique 

1-3/ Abscisses curvilignes

$M_{\left(\alpha +2k\mathrm{\pi }\right)}$ est un point de $\left(C\right)$, il existe un et un seul abscisse curviligne de $M$ qui appartienne à $]-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }]$ ( c.à.d. $-\mathrm{\pi }<\mathrm{\alpha }\le \mathrm{\pi }$). Cet abscisse est appelé abscisse curviligne principal de $M$.

Si $M$ est situé sur le demi cercle «supérieure», la mesure principale appartienne à $\left[0,\mathrm{\pi }\right]$, sinon la mesure principale appartienne à $]-\mathrm{\pi },0]$.

Les abscisses curvilignes de $I$ sont $0+2k\mathrm{\pi }=2\mathrm{k\pi }$, donc l’abscisse curviligne principale de $I$ est .

Les abscisses curvilignes de $J$ sont $\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }$, donc l’abscisse curviligne principale de $J$ est $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Les abscisses curvilignes de $I’$ sont $\mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi }$, donc l’abscisse curviligne principale de $I’$ est $\mathrm{\pi }$.

Les abscisses curvilignes de $J\text{'}$ sont $\frac{-\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }$, donc l’abscisse curviligne principale de $J\text{'}$ est $\frac{-\mathrm{\pi }}{2}$.

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-1/ Radian – grade

Définition

$A$ et $B$ deux points du cercle trigonométrique $\left(C\right)$ d’origine $I$ et son centre est le point $O$ et M un point de  $\left(C\right)$ .

- La longueur de l’arc géométrique  IM  intercepte par l’angle géométrique IOM est la mesure de IOM  en  radian et se note rad ou rd.

- la mesure d’un angle plat en radian est égale à $180°=\mathrm{\pi }rad$

- la mesure d’un angle droit en radian est égale à $90°=\frac{\mathrm{\pi }}{2}rad$

Remarque

Il existe une autre unité de mesure des angles, on l’appelle grade

On la note par $gr$ tel que $180°=\mathrm{\pi }rad=200gr$ et $90°=\frac{\mathrm{\pi }}{2}rad=100gr$

Si la mesure d'un angle est $x$ et $y$ et $z$ respectivement en degré et radian et grade, alors $\frac{x}{180}=\frac{y}{\mathrm{\pi }}=\frac{z}{200}$.

Exemple

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

Définition 1

Soit $\left[OA\right)$ et $\left[OB\right)$ deux demi droites du plan $\left(P\right)$ tel que $A\ne O$ et $B\ne O$.

Le couple $\left(\left[OA\right),\left[OB\right)\right)$ est appelé l’angle orienté du demi-droites, on le note $\left(OA,OB\right)$.

Le couple $\left(\left[OB\right),\left[OA\right)\right)$ détermine un autre angle orienté, on le note $\left(OB,OA\right)$ qui est différent de l’angle $\left(OA,OB\right)$.

Définition 2

On considère dans le plan $\left(P\right)$ deux points $A$ et $B$ puis le cercle trigonométrique $\left(C\right)$ de centre $O$ tel que $A\ne O$ et $B\ne O$.

Les deux demi-droites $\left[OA\right)$ et $\left[OB\right)$ coupent  respectivement en $A{\text{'}}_{\left(\alpha \right)}$ et $B{\text{'}}_{\left(\beta \right)}$ tel que leurs abscisses curvilignes sont $\alpha$ et $\beta$. On a :

- Les mesures de l’angle orienté $\left(OA,OB\right)$ sont les nombres réels $\beta -\alpha +2k\mathrm{\pi } \left(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$,

On note $\left(\overline{OA,OB}\right)\equiv \beta -\alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]$ ou encore $\left(\overline{OA,OB}\right)=\beta -\alpha +2k\mathrm{\pi } \left(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$.

On lit : mesures de l’angle orienté $\left(OA,OB\right)$ congrue à $\beta -\alpha$ modulo $2\mathrm{\pi }$.

- La mesure qui vérifie $\left(\mathrm{\beta }-\mathrm{\alpha }+2\mathrm{k\pi }\right)\in ]-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }]$ s’appelle la mesure principale de l’angle orienté $\left(OA,OB\right)$.

Exemple

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

Propriété

Le plan $\left(P\right)$ est orienté positif, $O$ est un point de $\left(P\right)$.

Soient $\left[OA\right)$ et $\left[OB\right)$ et $\left[OC\right)$ trois demi-droites de $\left(P\right)$.

On a :

$\left(\overline{OA,OA}\right)\equiv 0 \left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\left(\overline{OA,OB}\right)\equiv -\left(\overline{OB,OA}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\left(\overline{OA,OB}\right)+\left(\overline{OB,OC}\right) \equiv \left(\overline{OA,OC}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$ : Relation de chasles

Exemple

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

Définition

Le plan $\left(P\right)$ est orienté positif, $O$ est un point de $\left(P\right)$.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls de $\left(P\right)$.

Soient $A$ et $B$ deux points de $\left(P\right)$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$.

L’angle orienté des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est l’angle orienté $\left(OA,OB\right)$ (c.à.d. des deux demi-droites $\left[OA\right)$ et $\left[OB\right)$, on le note $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Les mesures de l’angle orienté $\left(OA,OB\right)$ sont appelées les mesures de l’angle orienté $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, on note $\left(\overline{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)$.

On a : $\left(\overline{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)\equiv \left(\overline{OA,OB}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

La mesure de l’angle orienté $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ qui appartienne à $]-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }]$ est appelée la mesure principale de $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Exemple

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

Propriété

Le plan $\left(P\right)$ est orienté positif, $O$ est un point de $\left(P\right)$.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs non nuls de $\left(P\right)$.

On a :

$\left(\overline{\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}}\right)\equiv 0 \left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\left(\overline{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)\equiv -\left(\overline{\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\left(\overline{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)+\left(\overline{\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}}\right)\equiv \left(\overline{\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

Exemple

III- Lignes trigonométriques du réel $x$

Définition

$x$ est une abscisse curviligne du point $M_{\left(x\right)}\in \left(C\right)$ tel que $\left(C\right)$ est le cercle trigonométrique d’origine $I$ lié au repère orthonormé.

$M\left(c,s\right)$ par rapport au repère orthonormé direct.

Le réel $c$ (abscisse de $M$) est appelé le sinus du réel $x$, on le note $\cos x$, d’où $\cos x=\cos \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=c$.

Le réel $s$ (ordonnée de $M$) est appelé le cosinus du réel $x$, on le note $\sin x$, d’où $\sin x=\sin \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=s$.

Le réel $t$ (abscisse du point $T$) est appelé la tangente du réel $x$, on le note $\tan x$, d’où $\tan x=\tan \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=t$ (sachant la droite $\left(T\right)$ est tangente au cercle $\left(C\right)$ en $I$ et $\left(T\right)\cap \left[OM\right)=\left\{T\right\}$).

III- Lignes trigonométriques du réel $x$

Conséquences

$$\begin{gathered} \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : {\left(\sin x\right)}^2+{\left(\cos x\right)}^2=1 \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : -1\le \sin x\le 1 et -1\le \cos x\le 1 \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : \cos \left(x+2k\mathrm{\pi }\right)=\cos x \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : \sin \left(x+2k\mathrm{\pi }\right)=\sin x \\ \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}-\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi };\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}\right) : \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} et 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x} \end{gathered}$$

IV- Signe de $\sin x$ et $\cos x$ et $\tan x$

4-1/ Quadrant d’un cercle

On divise le cercle en quatre arcs de même longueur suivant le sens positif.

x est une abscisse curviligne du point $M_{\left(x\right)}\in \left(C\right)$.

Le 1er arc $IJ$ : si $M_{\left(x\right)}\in IJ$ on dit que $M_{\left(x\right)}$ est situé dans le premier quadrant.

Le 2ème arc $JI\text{'}$ : si $M_{\left(x\right)}\in JI\text{'}$ on dit que $M_{\left(x\right)}$ est situé dans le deuxième quadrant.

Le 3ème arc $I\text{'}J\text{'}$ : si $M_{\left(x\right)}\in I\text{'}J\text{'}$ on dit que $M_{\left(x\right)}$ est situé dans le troisième quadrant.

Le 4ème arc $J\text{'}I$ : si $M_{\left(x\right)}\in J\text{'}I$ on dit que $M_{\left(x\right)}$ est situé dans le quatrième quadrant

IV- Signe de $\sin x$ et $\cos x$ et $\tan x$

4-2/ Signes des lignes trigonométriques

IV- Signe de $\sin x$ et $\cos x$ et $\tan x$

4-3/ Angles remarquables

V- Relations entre les angles

5-1/ Angles opposés

$$\begin{gathered} \sin \left(-x\right)=-\sin x \\ \cos \left(-x\right)=\cos x \\ \tan \left(-x\right)=-\tan x \end{gathered}$$

V- Relations entre les angles

5-2/ Angles supplémentaires

$$\begin{gathered} \sin \left(\mathrm{\pi }-x\right)=\sin x \\ \cos \left(\mathrm{\pi }-x\right)=-\cos x \\ \tan \left(\mathrm{\pi }-x\right)=-\tan x \end{gathered}$$

V- Relations entre les angles

5-3/ Angles opposés supplémentaires

$$\begin{gathered} \sin \left(\mathrm{\pi }+x\right)=-\sin x \\ \cos \left(\mathrm{\pi }+x\right)=-\cos x \\ \tan \left(\mathrm{\pi }+x\right)=-\tan x \end{gathered}$$

V- Relations entre les angles

5-4/ Angles complémentaires

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\cos x \\ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\sin x \\ \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x} \end{gathered}$$

V- Relations entre les angles

5-5/ Angles opposés complémentaires

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+x\right)=\cos x \\ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+x\right)=-\sin x \\ \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+x\right)=\frac{-1}{\tan x} \end{gathered}$$

V- Relations entre les angles

5-6/ Résumé des formules précédentes

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soit $\left(C\right)$ un cercle trigonométrique et $\left(O;\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ}\right)$ un repère orthonormé direct lié avec $\left(C\right)$.

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points suivants :

$A\left(\frac{267\mathrm{\pi }}{6}\right) ; B\left(\frac{-238\mathrm{\pi }}{3}\right) ; C\left(\frac{25\mathrm{\pi }}{4}\right)$

2. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

$\left(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}}\right) ; \left(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OA}}\right) ; \left(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}}\right)$

3. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le cercle trigonométrique $\left(C\right)$.

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

1. Exprimer en fonction de $\sin x$ et $\cos x$ :

$$\begin{gathered} A\left(x\right)=\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)+\sin \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)+\cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right) \\ B\left(x\right)=\cos \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)-\sin \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{x}\right) \\ C\left(x\right)=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{x}\right)+\cos \left(x-3\mathrm{\pi }\right)-\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

2. Calculer $A\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)$, $B\left(\frac{-17\mathrm{\pi }}{3}\right)$ et $C\left(\frac{2017\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

1. Résoudre dans l’intervalle $I$ les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} \left(I_1\right) : 2\sin x-1\ge 0 ; I=\left[0,2\mathrm{\pi }\right] \\ \left(I_2\right) :\sqrt{2}\cos x+1>0 ; I=]-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }] \\ \left(I_3\right) :2\sin x-\sqrt{3}\le 0 ; I=\left[0,2\mathrm{\pi }\right] \\ \left(I_4\right) : 2\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)-1\ge 0 ; I=\left[0,2\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, on pose :

$A\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)+\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)$

1. Montrer que : $A\left(x\right)=2\cos \left(x\right)$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$  l’équation : $A\left(x\right)=\sqrt{2}$

3. Résoudre dans l’intervalle $\left[0 ; 2\pi \right]$ l’inéquation : $A\left(x\right)<\sqrt{2}$