Séance 3-1-2 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

III- Exercices I

3-1/ Exercice 1-1

3-2/ Exercice 1-2

3-3/ Exercice 1-3

3-4/ Exercice 1-4

III- Exercices I

3-2/ Exercice 1-1

Pour chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $x_0$ puis interpréter géométriquement les résultats obtenus :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\left(1+x\right)\sqrt{1-x^2} si 0\le x\le 1\\ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^3-x} si x>1\end{array}\right. ; x_0=1 \\ \overline{)2} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{\tan x}{\sqrt{x}} si 0<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ f\left(0\right)=0\end{array}\right. ; x_0=0 \\ \overline{)3} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x^3-2x^2} si x\ge 2\\ f\left(x\right)=\frac{2}{\mathrm{\pi }}Arc\tan \frac{1}{\sqrt{2-x}} si x<2\end{array}\right. ; x_0=2 \end{gathered}$$

III- Exercices I

3-4/ Exercice 1-2

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty [$ par: $f\left(x\right)=x-\frac{1}{Arc\tan \left(x\right)}$

1. Dresser le tableau de variation de la fontion $f$
2. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $]0;+\infty [$ et que $1<\alpha <\sqrt{3}$
3.  a) Montrer que $f$ admet un réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathrm{ℝ}$

            b) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$

            c) Montrer que : $\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(0\right) = \frac{1+{\alpha }^2}{1+2{\alpha }^2}$

III- Exercices I

3-6/ Exercice 1-3

On considère la fonction $g$ définie sur $[1;+\infty [$ par : $g\left(x\right)=x-3+\sqrt{x^2-x}$

1. Étudier la dérivabilité de la fonction $g$ à droite en $1$ puis interpréter le résultat géométriquement.

2. Étudier les variations de la fonction $g$.

3. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque dont on déterminera le domaine de définition,

4. Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $\left(\sqrt{2}-1\right)$ puis calculer ${\left(g^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(\sqrt{2}-1\right)$.

III- Exercices I

3-5/ Exercice 1-4

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I=]-\infty ;0[$ par: $f\left(x\right)=Arc\tan \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$

1. Calculuer les limites : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right) et \underset{0^{-}}{\lim } f\left(x\right)$
2.  a) Montrer que $f$ est continue sur I

            b) Montrer que f est monotone sur I

3.  a) Montrer que $f$ admet un fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer.

            b) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur J.

4.  a) Vérifier que  $\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)=\sqrt{2}-1$  puis calculer $f(-1) et {\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}(-\frac{\mathrm{\pi }}{8})$

            b) Montrer que $\forall x\in I :f\left(x\right)=\frac{1}{2}Arc\tan x et calculer f^{-1}\left(x\right) pour tout x de J$